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时间：2018-12-24
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1、重积分习题课讲义一、选择题1．设连续，且，其中D是由，，所围成区域，则等于（C）（A）；（B）；（C）；（D）。解：设（常数）。在D上对两边积分得：，解得，故。2．二次积分可以写成（D）（A）；（B）；（C）；（D）。3．设为连续函数，，，则I=（B）（A）；（B）；（C）；（D）。二、填空题1．计算下列积分（1）。7解：。（2）。解：。（3）。解：该积分不是二重积分的二次积分。。2．在极坐标系下的二次积分为。三、解答题1．设区域为，求。解法1：关于直线对称，利用轮换对称性化简计算。。解法2：根据积分区域形状选用极坐标计算。7。2．计算，D：。解：直线将积分区域
2、D分成两个子域，且。。3．设函数在区间上连续，并设，求。解法1：化为二重积分，然后利用二重积分的性质。如图，：，：。∵，∴。7解法2：更换二次积分顺序∵∴。解法3：利用定积分换元法。。解法3：利用分部积分，得所求二重积分的方程，解之得。4．计算二重积分，其中D是由直线，，以及曲线所围成的平面区域。解法1：解法2：7.5．求由曲面，所围立体的体积。解法1：两曲面的交线。故所求立体在面上的投影区域为。。解法2：。解法3：。6．设，其中是由和围成的区域，试在直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下分别将I化为三次积分。解：（1）在直角坐标系下，两曲面的交线为，面上的投影区
3、域为。。7（2）在柱面坐标系下，，，。（3）在球面坐标系下，，，，。7．求，其中：。解：令，则：，。7。或由轮换对称性知：，.8．利用广义球面坐标变换计算曲面（）所围成的体积V。解：作广义球面坐标变换，，曲面方程化为，，由。7
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