《重积分习题课》PPT课件

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1、三重积分习题课重点：1.计算；2.应用上边界曲面（上顶）下边界曲面（下底）xOy坐标面上的投影区域一、利用直角坐标系计算三重积分“先一后二”（一）先投影，再确定上、下面x0zyc1c2.“先二后一”zDz（二）坐标轴投影法[c1,c2]:向z轴的投影区间Dz:过z[c1,c2]且垂于z轴的平面截得到的截面0xzyM(x,y,z)M(r,,z)zrP(x,y,0)xyz柱面坐标M(x,y,z)M(r,,z)z=z..二、利用柱面坐标计算三重积分xzy0drrrddz底面积：rdrd元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为r及r+dr的圆柱面；平面z

2、及z+dz；dzdV=.柱面坐标下的体积元素.dV0xzyM(x,y,z)M(r,,)rPyxz...球面坐标三、利用球面坐标计算三重积分rdrdxzy0drd元素区域由六个坐标面围成：rsind球面坐标下的体积元素.半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+dr2sindrdddVdV=(一)平面区域的面积设有平面区域D,(二)体积设曲面方程为则D上的曲顶柱体体积为:则其面积为:占有空间有界域的立体的体积为:重积分在几何上的应用(三)曲面的面积(1)平面薄片的质心重积分在物理上的应用(一)质(重)心(2)空间物体的质心(1)平面薄

3、片的转动惯量(二)转动惯量(2)空间物体的转动惯量则转动惯量为设物体占有空间域,有连续密度函数设物体占有空间区域V,体密度为区域V之外有一质量为m的质点A(a,b,c),求物体V对质点A的引力.(三)引力其中G为万有引力系数。引力F在三个坐标方向上的分量为三重积分可以用直角坐标、柱面坐标和球面坐标来计算.其方法都是将三重积分化为三次积分.三重积分的计算将三重积分化为三次积分关键：根据被积函数和积分域选择合适的坐标系;画出投影域、确定积分序;定出积分限、计算要简便.z0xy1化为球系下的方程r=2cos.M.r例1例题例1解利用球面坐标z=0y=0x=00yx画图x0zy11

4、DxyDxy:x=0,y=0,x+2y=1围成1...例2：x+2y+z=1DxyI=x0zy11Dyz...例3：x+y+z=1I=解直接积分困难，考虑改变积分次序例4解ayxzo例5xyzoDS=D:...例5...例5解S=解先算前面部分的面积A1由求交线求柱面所截剩下部分的面积.被锥面例8解球例9解柱面坐标例10旋转曲面方程为旋转曲面方程测验题ABBCz=0yxzo球面坐标a...用哪种坐标？r=a.例6解由积分区域的对称性知