扬州大学高等代数课件(北大三版)--第二章-行列式演示教学.ppt

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1、扬州大学高等代数课件(北大三版)--第二章-行列式§2.1引言解方程是代数中一个基本问题，在中学我们学过一元、二元、三元以至四元一次线性方程组。在解线性方程组时，我们曾用代入消元法和加减消元法来解线性方程组。例如，对二元一次方程组（2.1.1）利用加减消元法，由和得若，则有我们用记号表示，+－若，则是方程组（2.1.1）的公式解。对三元一次线性方程组（2.1.2）若+－则是方程组（2.1.2）的公式解。这里是分别用代替中第1列，第2列，第3列所得的行列式。由此，我们引入了二阶行列式和三阶行列式的定义，同时给出了二元一次和三元一次线性方程组的公式解。我们自然

2、要问，对于n元一次线性方程组（2.1.3）是否也有类似于（2.1.1)、（2.1.2）的公式解？这首先就必须解决：能否把二阶、三阶行列式推广到n阶行列式？要解决这个问题，必须回答以下一系列问题：这个n阶行列式如何定义？n阶行列式中一共包含有多少项？每一项由哪些元素组成？哪些项前面带正号？哪些项前面带负号？有了n阶行列式的定义后，我们才能研究方程组（2.1.3）有没有类似于二元、三元方程组的公式解。§2.2排列一、排列与对换排列的定义：由n个数码1，2，…，n组成的一个无重复的有序数组称为这n个数码的一个排列，简称为n元排列。例如，312是一个3元排列，23

3、41是一个4元排列，45321是一个5元排列，等等。3元排列共有多少种不同的排列？123132213231312321n元排列共有多少种不同的排列？在n元排列中，只有123…n这个排列是按自然顺序排列，其他排列或多或少破坏自然排列。反序的定义：在一个n元排列中，如果有一个较大的数码排在一个较小的数码前面，则称这两个数码在这个排列中构成一个反序，一个n元排列中所有反序的总和称为这个排列的反序数，记为或。例如：一般地，这是计算一个n元排列的反序数的一般方法，特别在证明题中有用。对换的定义：在一个n元排列中，如果交换某两个数码的位置而别的数码不动，则称对这个排列

4、施行了一个对换。如果交换的两个数码是和，就把这个对换记为例如问题1：任意两个n元排列是否可经一系列对换而互变？引理1：任意一个n元排列可经一系列对换变为自然排列12…n。证明（用归纳法）：1、当n=2时，结论显然成立。2、假设结论对n-1元排列成立，（1）则对任一个n元排列，假如，则由归纳假设知可经一系列对换变为12…（n-1）。于是经同样一系列的对换，变为12…(n-1)n；（2）假如，设，于是经一次对换，得由（1）知，经一系列对换可把变为12…n。因而可经一系列变换变为12…n。(证毕)由于对换是可逆的，因此有推论1：自然排列12…n可经一系列的对换变

5、到任意一个n元排列：。由引理1和推论1，我们圆满地解决上面提出的问题1，这就是：定理2.2.1：任意两个n元排列可经一系列对换互化。问题2：排列的反序数可以是，反序数究竟有何作用？二、排列的奇偶性。排列的奇偶性：如果一个n元排列的反序数是一个奇数，则称该排列为奇排列，反序数是偶数的排列称为偶排列。例如：是奇排列，而是偶排列。问题3：对n元排列施行一次对换，对排列的奇偶性有没有影响？例如，，。定理2.2.2：每一个对换均改变排列的奇偶性。证明：（先特殊后一般）1、先考虑特殊情况，即对换的两个数在n元排列中是相邻的。设排列（1）：化为排列（2）：，在排列（1）

6、中，若与其他数构成反序，则在排列（2）中仍然构成反序；若与其他数不构成反序的，则在排列（2）中也不构成反序。不同的是的顺序发生变化，若在（1）中构成一个反序，则在（2）中经对换(j,k)不构成反序，或在（1）中不构成一个反序，则在（2）中构成一个反序。无论是减少还是增加一个反序，排列反序数的奇偶性均发生变化，因此定理成立。2、再考虑一般情况，设排列为（3）：经对换后化为排列（4）：这样一个对换可以经由一系列相邻数码的对换来实现。从（3）出发，依次把与对换，与对换，…，与对换。经过S+1次相邻数码的对换，排列（3）化为排列（5）：；再把依次与对换，则经S次相

7、邻数码的对换，排列（5）就化为排列（4）。故经2S+1相邻数码的对换，就把排列（3）化为排列（4）。由第一步知每一次相邻位置的对换均改变排列的奇偶性，因此，奇数次的对换的最终结果仍然改变排列的奇偶性。问题4：在全体n元排列中，究竟是奇排列多还是偶排列多？定理2.2.3：当时，在n!个n元排列中，奇、偶排列各占一半，即各有个。证明：由于，故由定理2.2.2知，在n元排列中总有奇排列和偶排列，设在n!个n元排列中，有S个奇排列和T个偶排列。把S个奇排列中的每一个排列的任两个数码对换，这S个奇排列就都变成偶排列，但总共只有T个偶排列，故。同理对T个偶排列中每一个

8、进行对换，得。因此，又，§2.3n阶行列式的定义问题：如何定义n阶