高等代数课件(北大三版)--第三章 行列式

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1、第三章行列式3.1线性方程组和行列式3.2排列3.3n阶行列式3.4子式和代数余子式行列式依行(列)展开3.5克拉默法则课外学习6:行列式计算方法课外学习7:q_行列式及其性质能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人,而且只限于这种人。――庞加莱(Poincare,1854-1921)一个数学家,如果他不在某种程度上成为一个诗人,那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。--外尔斯特拉斯(Weierstrass,1815-1897)3.1线性方程组和行列式一、内容分布3.

2、1.1二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)3.1.2行列式在线性方程组中的应用二、教学目的:1.了解二阶、三阶行列式的定义。2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。三、重点难点:利用对角线法则计算二阶、三阶行列式3.1.1二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)二阶行列式我们用记号表示代数和称为二阶行列式,即三阶行列式我们用记号表示代数和称为三阶行列式,即主对角线法‘—’三元素乘积取“+”号;‘—’三元素乘积取“-”号.3.1.2行列式在线性方程组中的应用(1)如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1)它的系

3、数作成的二阶行列式,那么方程组(1)有解(2)如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2)他的系数作成的三阶行列式,那么方程组(2)有解这里我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后利用这一工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组.例题选讲解:由阶行列式的定义有:3.2排列一、内容分布3.2.1排列、反序与对换3.2.2奇、偶排列的定义及性质二、教学目的了解排列、反序、对换的定义三、重点难点求反序数3.2.1排列、反序与对换例如:1234,2314都是四个数码的排列。定义1n个数码的一个排列指

4、的是由这n个数码组成的一个有序组.n个数码的不同排列共有n!个例如:1,2,3这三个数码的全体不同的排列一共有3!=6个,它们是:123,132,231,213,312,321。定义2在一个排列里,如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面,就说这两个数码构成一个反序。计算反序数的方法:看有多少个数码排在1的前面,设为个,那么就有个数码与1构成反序;然后把1划去,再看有多少个数码排在2的前面,设为个,那么就有个数码与2构成反序;然后把2划去,计算有多少个数码在3前面,设为个,……,如此继续下去,最后设在n前

5、面有个数码(显然),那么这个排列的反序数等于。例如:在排列451362里,所以这个排列有8个序。一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个反序的排列叫做一个偶排列;有奇数个反序的排列叫做奇排列。3.2.2奇、偶排列的定义及性质定义3看n个数码的一个排列,如果把这个排列里的任意两个数码i与j交换一下,而其余数码保持不动,那么就得到一个新的排列,对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换,并且用符号(i,j)来表示。定理3.2.1是n个数码的任意两个排列,那么总可以通过一系列对换由证明:我们已经知道,通过一系

6、列对换可以由我们只需证明,通过一系列对换可由,而通过一系列对换可以由,按照相反的次序施行这些对换,就可由。定理3.2.2任意一个排列经过一个对换后的奇偶性改变.其中A与B都代表若干个数码.施行对换得证明:我们首先看一个特殊的情形,就是被对 换的两个数码是相邻的。设给定的排列为AB我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数码所构成的反序数没有改变.同时i,j与A或B中的数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排列中,那么经过对换后,i与j就构成一个反序。因面后一排

7、列的反序比前一排列的反序数增多一个。若在给定的排列中,那么经过对换后,排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形,排列的奇偶性都有改变。AB现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码,我们用来代表。这时给定的排列为(1)先让i向右移动,依次与交换。这样,经过s次相邻的两个数码的对换后(1)变为再让j向左移动,依次与交换。经过s+1次相邻的两个数码的对换后,排列变为(2)但(2)正是对(1)施行对换而得到的排列。因此,对(1)施行对换相当于连续施行2s+1次相邻数码的对换。由1。,每经过一次相邻两数码的对换,排列

8、都改变奇偶性。由于2s+1是一个奇数,所以(1)与(2)的奇偶性相反。定理3.2.3在n个数码(n>1)的所有n!个排列,其中奇偶排列各占一半.即各为个。证明:设n个数码的奇排列共有p个,而偶排列共有q个,对这p个奇排列施行同一个对换那么由定理3.2.2,我们得到p个偶排列.由于对这p个偶排列各不相等.又可以得到原来的p个奇排列,所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有q个偶排列,所以同样可得因此例

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