高等代数课件(北大版)第二章 行列式§2.2.ppt

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1、§4n级行列式的性质§8Laplace定理行列式乘法法则§3n级行列式§2排列§1引言§5行列式的计算§7Cramer法则§6行列式按行(列)展开第二章行列式9/26/2021数学与计算科学学院一、排列二、逆序逆序数§2.2排列三、奇排列偶排列四、对换9/26/2021数学与计算科学学院一、排列定义称为一个级排列．由1，2，…，n组成的一个有序数组123，132，213，231，312，321．如，所有的3级排列是——共6=3！个.(阶乘)注：所有不同　级排列的总数是9/26/2021数学与计算科学学院二、逆序　逆序数我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由

2、小到大为标准次序.定义一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．在一个排列中，如果一对数的前后位置与标准次序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；9/26/2021数学与计算科学学院①排列123称为标准排列，其逆序数为０．注：②排列的逆序数常记为③后面比小的数的个数后面比小的数的个数.后面比小的数的个数或前面比大的数的个数前面比大的数的个数前面比大的数的个数．方法一方法二9/26/2021数学与计算科学学院例1．排列31542中，逆序有31，32，54，52，42的逆序数.例2．求级排列解：方法一9/26/2021数学与计算科学学院逆序数为奇数的排列称为奇排列；

3、逆序数为偶数的排列称为偶排列．三、奇排列、偶排列定义标准排列123为偶排列．注：练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性．（1）（2）9/26/2021数学与计算科学学院答案:（2）当时为偶排列；当时为奇排列.当为偶数时为偶排列，当为奇数时为奇排列.方法一方法二9/26/2021数学与计算科学学院四、对换定义把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．9/26/2021数学与计算科学学院证明1)特殊情形：作相邻对换对换与除外，其它元素所成逆序不改变.对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列

4、，偶排列变成奇排列．定理1设排列为9/26/2021数学与计算科学学院当时，所成逆序不变;经对换后的逆序增加1个,经对换后所成逆序不变，的逆序减少1个.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当时，现来对换与2)一般情形9/26/2021数学与计算科学学院次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.9/26/2021数学与计算科学学院所有级排列中，奇、偶排列各半，均为个.设在全部阶排列中，有个奇排列，个偶排列，下证．将个奇排列的前两个数对换，则这个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，同理，将个偶排列的前两个数对换，则这个偶排列全变成

5、奇排列，并且它们彼此不同，推论证明故9/26/2021数学与计算科学学院一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个任意一个排列与标准排列都可经过排列的奇偶性相同．定理2由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,因此知结论成立.证明而标准排列是偶排列（逆序数为0）,9/26/2021数学与计算科学学院思考题如果排列的逆序数为k，则排列的逆序数是多少？9/26/2021数学与计算科学学院