高等代数教案(北大版)第二章行列式

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1、第二章行列式行列式是高等代数中的一个基本概念，它产生于解线性方程组的过程中，中学数学中已经引入二级和三级行列式的概念，并用于求解二元和三元的线性方程组，对于一般的n元线性方程组的解，我们可以用n级行列式来表示。事实上，它不仅是研究线性方程组的基本工具，也是讨论向量、矩阵和二次型的重要工具之一。而且在科技领域中得到广泛的应用。教学目的：通过深刻理解行列式的定义，牢固掌握行列式的性质达到正确、熟练计算行列式的目的。教学重点：n级行列式的基本概念与运算。教学难点：n级行列式的定义、展开定理和性质的证明。教学方法与手段：1.理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多

2、媒体。2．习题课以多媒体教学为主。教学内容§1引言1．用消元法解二元线性方程组⎧axaxb+=(1)1111221⎨⎩axaxb+=(2)2112222(1)×a22:aaxaaxba+=,1122112222122(2)×a12:aaxaaxba+=,1221112222212两式相减得：（）aa−=aaxba−ab;112212211122122（）aa−=aaxabba−,112212212112121当aa−aa≠0时，解为：11221221ba−−abbaab122122211211xx==,.12aa−−aaaaaa11221221112212

3、21aa定义：1112=−=aaaaD，aa112212212122baab112111记ba−=ab=D,abba−==D,122122ba1112121ab2222212D1D2则解的形式可表示为：x1=,x1=。DD2．在三元一次线形方程组求解时有类似结果⎧axaxaxb++=⎪1111221331⎨axaxaxb++=2112222332⎪⎩axaxaxb++=3113223333当aaa++−−−aaaaaaaaaaaaaaa≠0时，112233122331132132132231122133112332定义：aaa111213aaaaaaaaa

4、aaa=++212223112233122331132132aaa313233−−−aaaaaaaaa=D132231122133112332baaabaaab112131111311121类似记baaD==,,abaDaabD=,222231212232212223baaabaaab332333133331323D1D2D3则解的形式可表示为：x1=,x2=，x3=。DDD问题：对于多元一次线性方程组的解是否有类似的结论呢？分析二级、三级行列式的结构：1．项的组成。2．项的符号。§2排列一．排列定义：由1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列注：

5、所有不同n级排列的总数是nn!12(1)=⋅⋅"−=nPn如所有的3级排列是123，132，213，231，312，321．——共6=3！个。二、逆序逆序数我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为自然顺序。在一个排列中，如果一对数的前后位置，与自然顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．注：1)排列123…n称为自然排列，其逆序数为0;2)排列j1j2…jn的逆序数常记为τ(j1j2…jn);3)τ(j1j2…jn)=j1后面比j1小的数的个数+j2后面比j2小的数的个数+

6、…+jn-1后面比jn-1小的数的个数。或者=j2前面比j2大的数的个数＋j3前面比j3大的数的个数＋…+jn前面比jn大的数的个数例1排列31542中，逆序有那些？例2求n级排列135…(2n−1)(2n)(2n−2)…42的逆序数。三、奇排列、偶排列定义：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列；注：自然排列123…n为偶排列．练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性．1)n(n−1)…3212)(2n)1(2n−1)2(2n−2)3…。(n+1)nnn(1−)2key:1)τ(n(n−1)…321)=;2)τ((2n)1(2n−1)2

7、(2n−2)3…。(n+1)n)=n2四、对换定义：把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理1对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．证明1)特殊情形：作相邻对换对换与ab设排列为aaa""bbb⎯⎯⎯⎯→aab""abb11lm11lm除a,b外，其它元素所成逆序不改变，当ab时，经对换后b的逆序减少1个,a所成逆序不变因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性。2)一般情形设排列为aa"

8、""abbbcc，对换a与b，111lmnm次相邻aa"""abb