高等代数课件(北大三版)--第三章 行列式

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1、第三章行列式3.1线性方程组和行列式3.2排列3.3n阶行列式3.4子式和代数余子式行列式依行(列)展开3.5克拉默法则课外学习6：行列式计算方法课外学习7：q_行列式及其性质能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。――庞加莱(Poincare，1854－1921)一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人，那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。－－外尔斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）3.1线性方程组和行列式一、内容分布3.

2、1.1二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)3.1.2行列式在线性方程组中的应用二、教学目的：1.了解二阶、三阶行列式的定义。2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。三、重点难点：利用对角线法则计算二阶、三阶行列式3.1.1二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)二阶行列式我们用记号表示代数和称为二阶行列式,即三阶行列式我们用记号表示代数和称为三阶行列式,即主对角线法‘—’三元素乘积取“+”号；‘—’三元素乘积取“-”号.3.1.2行列式在线性方程组中的应用(1)如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1)它的系

3、数作成的二阶行列式,那么方程组(1)有解(2)如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2)他的系数作成的三阶行列式,那么方程组(2)有解这里我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后利用这一工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组.例题选讲解:由阶行列式的定义有:3.2排列一、内容分布3.2.1排列、反序与对换3.2.2奇、偶排列的定义及性质二、教学目的了解排列、反序、对换的定义三、重点难点求反序数3.2.1排列、反序与对换例如:1234，2314都是四个数码的排列。定义1n个数码的一个排列指

4、的是由这n个数码组成的一个有序组.n个数码的不同排列共有n！个例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有3！=6个，它们是：123，132，231，213，312，321。定义2在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。计算反序数的方法：看有多少个数码排在1的前面，设为个，那么就有个数码与1构成反序；然后把1划去，再看有多少个数码排在2的前面，设为个，那么就有个数码与2构成反序；然后把2划去，计算有多少个数码在3前面，设为个，……，如此继续下去，最后设在n前

5、面有个数码（显然），那么这个排列的反序数等于。例如：在排列451362里，所以这个排列有8个序。一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇排列。3.2.2奇、偶排列的定义及性质定义3看n个数码的一个排列，如果把这个排列里的任意两个数码i与j交换一下，而其余数码保持不动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（i，j）来表示。定理3.2.1是n个数码的任意两个排列，那么总可以通过一系列对换由证明:我们已经知道，通过一系

6、列对换可以由我们只需证明，通过一系列对换可由，而通过一系列对换可以由，按照相反的次序施行这些对换，就可由。定理3.2.2任意一个排列经过一个对换后的奇偶性改变.其中A与B都代表若干个数码.施行对换得证明:我们首先看一个特殊的情形，就是被对换的两个数码是相邻的。设给定的排列为AB我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数码所构成的反序数没有改变.同时i，j与A或B中的数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排列中，那么经过对换后，i与j就构成一个反序。因面后一排

7、列的反序比前一排列的反序数增多一个。若在给定的排列中，那么经过对换后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形，排列的奇偶性都有改变。AB现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码，我们用来代表。这时给定的排列为（1）先让i向右移动，依次与交换。这样，经过s次相邻的两个数码的对换后（1）变为再让j向左移动，依次与交换。经过s+1次相邻的两个数码的对换后，排列变为（2）但（2）正是对（1）施行对换而得到的排列。因此，对（1）施行对换相当于连续施行2s+1次相邻数码的对换。由1。，每经过一次相邻两数码的对换，排列

8、都改变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇偶性相反。定理3.2.3在n个数码(n>1)的所有n！个排列，其中奇偶排列各占一半.即各为个。证明：设n个数码的奇排列共有p个，而偶排列共有q个，对这p个奇排列施行同一个对换那么由定理3.2.2,我们得到p个偶排列.由于对这p个偶排列各不相等.又可以得到原来的p个奇排列,所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有q个偶排列,所以同样可得因此例