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《扬州大学高等代数课件北大三版--第六章线性空间》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一章线性空间学时：16学时。教学手段：讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。基本内容和教学目的：基本内容：集合、映射的概念；线性空间的定义与简单性质、维数、基与坐标、过渡矩阵的概念；基变换与坐标变换；线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和；线性空间的同构等概念。教学目的：1、掌握集合、映射的概念，线性空间的定义与简单性质。2、理解维数、基与坐标的概念。了解基变换与坐标变换。3、了解线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和、线性空间的同构等概念。本章的重点和难点：重点：线性空间的概念，子空间的和，基与维数，基及坐标变换公式。难点：线
2、性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和。1课件§6.2线性空间的定义与性质2课件一.线性空间的定义3课件4课件例1平面（空间）解析几何中的典例：5课件例2数域F上m行n列矩阵组成的典例：6课件例3C[a,b]={f：[a,b]上连续实函数}：7课件例4（1）数域P是P上的线性空间； （2）数域C是R上的线性空间； （3）数域R非C上的线性空间.8课件例5（1）数域P上一元多项式环P[x]； （2）P[x]n={f(x)｜əf＜n}∪{0}.9课件二.基本性质8条算律―基本法律依据（公理），以2个运算、8条算律为基础推导其它基本性质.以下6条基本性质：
3、10课件11课件12课件13课件6.2维数、基、坐标14课件一.向量的线性相关（无关）*不经声明，v均表示数域P上的线性空间.15课件16课件17课件二.维数、基、坐标定义5V中有n个线性无关的向量，且无多余n个的向量线性无关，则称V是n维的记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性无关，则称V是无限维的，记成dimV=∞.线性空间V的维数即V作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组所含向量的个数.例1(1)V2：两相交矢量确定此平面→dimV2=2；V3：三相交矢量确定此空间→dimV3=3.(2)Pn={(a1,a2,…,an)
4、ai∈P,i=1,
5、2,…,n}是n维的，e1,e2,…,en是Pn的一个极大无关组.(3)R[x]={f(x)
6、f(x)是实系数多项式}.当f(x)=a0+…+anxn,且k0+…+knxn=0时有k0==kn=0成立，故1,x,…,xn,…是R[x]的一个极大无关组→dimR[x]=∞.本教材仅讨论无限维线性空间.18课件定义6dimV=n，如果ε1，ε2，…,εn线性无关，则称ε1,ε2,…,εn为V的一组基（或一个基）；α∈V，α＝a1ε1+a2ε2+…+anεn,称a1,a2,…,an为α在基ε1，ε2，…,εn下的坐标，记为（a1,a2,…,an）.基是V中一个
7、极大无关组→V中有多个基，但维数是唯一确定的；对任意的α∈V，α可由基ε1，ε2，…,εn唯一线性表示→（这即说：向量α在该基ε1，ε2，…,εn下的坐标唯一确定）.证明：据维数及基的定义→α，ε1，ε2，…,εn线性相关，即存在不全为0的b1,b2,…,bn,使b1ε1+b2ε2+…+bnεn+bn+1α=0→bn+1≠0(否则，由ε1，ε2，…,εn线性无关将推出b1=b2=…=bn=0，矛盾)→α=bn+1-1((-b1)ε1+…+(-bn)εn)=a1ε1+a2ε2+…+anεn,即α可由基ε1，ε2，…,εn线性表示.19课件设α＝a1ε1+a
8、2ε2+…+anεn＝b1ε1+b2ε2+…+bnεn→(a1-b1)ε1+(a2-b2)ε2+…+(an-bn)εn＝0→由基ε1，ε2，…,εn线性无关可知ai=bi(i=1,2,…,n),即表示唯一.□基相当于V中的一个度量标准，坐标是V中客观对象（即向量）在给定标准下的一种量的刻画.定理1α1,α2,…,αn是V的基α1,α2,…,αn线性无关，且对任意的α∈V，α可由α1,α2,…,αn线性标出20课件21课件22课件23课件§6.3基变换与坐标变换24课件*问题的提出：dimV=n→25课件例：V2={α：始点为坐标原点的平面矢量}26课件*
9、形式书写记号及其性质27课件*形式记号的运算性质：28课件一基变换公式29课件30课件称如上公式为基到基 的基变换公式； 称A为基到基的过渡矩阵过渡矩阵A是可逆矩阵31课件二.坐标变换公式命题2基变换公式坐标变换公式32课件33课件34课件矩阵表示35课件基变换公式坐标变换公式坐标旋转公式（平面解析几何）接前页36课件三.过渡矩阵37课件38课件39课件40课件41课件42课件§5线性子空间43课件一.子空间的概念1。定义7W称为数域P上线性空间V的（线性）子空间1）；2）W对V的两种运算构成P上的线性空间.寻求更简洁的判定V的非空子集W构成V的子空间的
10、充要条件是子空间研究的一个重要问题→定理2V的非空子集W是V的子空间证明：必要性
