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《扬州大学高等代数课件(北大三版)--第六章-线性空间说课讲解.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、扬州大学高等代数课件(北大三版)--第六章-线性空间一.线性空间的定义例1平面（空间）解析几何中的典例：例2数域F上m行n列矩阵组成的典例：例3C[a,b]={f：[a,b]上连续实函数}：例4（1）数域P是P上的线性空间； （2）数域C是R上的线性空间； （3）数域R非C上的线性空间.例5（1）数域P上一元多项式环P[x]； （2）P[x]n={f(x)｜əf＜n}∪{0}.二.基本性质8条算律―基本法律依据（公理），以2个运算、8条算律为基础推导其它基本性质.以下6条基本性质：6.2维数、基、坐标一.向量的线性相关（无关）*不经声明，v均表示数域P上的
2、线性空间.二.维数、基、坐标定义5V中有n个线性无关的向量，且无多余n个的向量线性无关，则称V是n维的记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性无关，则称V是无限维的，记成dimV=∞.线性空间V的维数即V作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组所含向量的个数.例1(1)V2：两相交矢量确定此平面→dimV2=2；V3：三相交矢量确定此空间→dimV3=3.(2)Pn={(a1,a2,…,an)
3、ai∈P,i=1,2,…,n}是n维的，e1,e2,…,en是Pn的一个极大无关组.(3)R[x]={f(x)
4、f(x)是实系数多项式}.当f(x)=a0+…+
5、anxn,且k0+…+knxn=0时有k0==kn=0成立，故1,x,…,xn,…是R[x]的一个极大无关组→dimR[x]=∞.本教材仅讨论无限维线性空间.定义6dimV=n，如果ε1，ε2，…,εn线性无关，则称ε1,ε2,…,εn为V的一组基（或一个基）；α∈V，α＝a1ε1+a2ε2+…+anεn,称a1,a2,…,an为α在基ε1，ε2，…,εn下的坐标，记为（a1,a2,…,an）.基是V中一个极大无关组→V中有多个基，但维数是唯一确定的；对任意的α∈V，α可由基ε1，ε2，…,εn唯一线性表示→（这即说：向量α在该基ε1，ε2，…,εn下的坐
6、标唯一确定）.证明：据维数及基的定义→α，ε1，ε2，…,εn线性相关，即存在不全为0的b1,b2,…,bn,使b1ε1+b2ε2+…+bnεn+bn+1α=0→bn+1≠0(否则，由ε1，ε2，…,εn线性无关将推出b1=b2=…=bn=0，矛盾)→α=bn+1-1((-b1)ε1+…+(-bn)εn)=a1ε1+a2ε2+…+anεn,即α可由基ε1，ε2，…,εn线性表示.设α＝a1ε1+a2ε2+…+anεn＝b1ε1+b2ε2+…+bnεn→(a1-b1)ε1+(a2-b2)ε2+…+(an-bn)εn＝0→由基ε1，ε2，…,εn线性无关可知a
7、i=bi(i=1,2,…,n),即表示唯一.□基相当于V中的一个度量标准，坐标是V中客观对象（即向量）在给定标准下的一种量的刻画.定理1α1,α2,…,αn是V的基α1,α2,…,αn线性无关，且对任意的α∈V，α可由α1,α2,…,αn线性标出§6.3基变换与坐标变换*问题的提出：dimV=n→例：V2={α：始点为坐标原点的平面矢量}*形式书写记号及其性质*形式记号的运算性质：一基变换公式称如上公式为基到基 的基变换公式； 称A为基到基的过渡矩阵过渡矩阵A是可逆矩阵二.坐标变换公式命题2基变换公式坐标变换公式矩阵表示基变换公式坐标变换公式坐标旋转公式（
8、平面解析几何）接前页三.过渡矩阵§5线性子空间一.子空间的概念1。定义7W称为数域P上线性空间V的（线性）子空间1）；2）W对V的两种运算构成P上的线性空间.寻求更简洁的判定V的非空子集W构成V的子空间的充要条件是子空间研究的一个重要问题→定理2V的非空子集W是V的子空间证明：必要性是显然的.现证充分性.据题设→W上存在向量加法、数乘运算，且满足P243算律1),2),5),6),7),8).→取k=0,则kα=0α=0∈W；取k=－1,则kα=(－1)α=－α∈W即算律3),4)成立→W关于V的两种代数运算构成P上的线性空间→据定义7即知W是V的子空间.
9、□子空间本身就是一个线性空间→线性空间维数，基，坐标的概念及性质在子空间上仍然成立.设W是V的子空间，则dimW≤dimV.补充命题：线性空间V的非空子集W是V的子空间证明：必要性显然成立，现证充分性.取a=b=1,据题设取b=0,据题设由定理2即知W是V的子空间.□实例：例1-2取V的子集{0}，则{0}是V的子空间，称为V的零子空间；取V的子集V，则V是V的子空间→子空间{0}和V统称为V的平凡子空间，其余的子空间称为V的非平凡子空间.例3实系数多项式全体构成之集W是全体实函数构成线性空间的子空间.证明：取任两实系数多项式f(x)=anxn+···+a
10、1x+a0,g(x)=bmxm++b1x+b0,不妨设n≤m,对任
