函数的凹凸性.docx

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1、函数的凹凸性专题一、函数凹凸性的定义1、凹函数定义：设函数在区间上连续，对，若恒有，则称的图象是凹的，函数为凹函数；2、凸函数定义：设函数在区间上连续，对，若恒有，则称的图象是凸的，函数为凸函数.二、凹凸函数图象的几何特征1、形状特征如图，设是凹函数图象上两点，它们对应的横坐标，则，，过点作轴的垂线交函数图象于点，交于点.凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点与之间的部分位于弦的下方；凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点与之间的部分位于弦的上方.简记为：形状凹下凸上.2、切线斜率特征凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率随增大而增大即的二阶导数；凸函数的切线斜

2、率特征是：切线的斜率随增大而减小即的二阶导数.简记为：斜率凹增凸减.3、增量特征设函数为凹函数，函数为凸函数，其函数图象如图所示.当自变量依次增加一个单位增量时，函数的相应增量越来越大；函数的相应增量越来越小.由此，对的每一个单位增量，函数的对应增量凹函数的增量特征是：越来越大；凸函数的增量特征是：越来越小.三、常用的不等式1、二次函数中，；2、反比例函数中，；3、指数函数中，；4、对数函数中，；5、对数函数中，；6、幂函数中，；7、幂函数中，；8、正弦函数中，；9、余弦函数，；10、正切函数，.四、函数凹凸性在高考中的应用1、（05湖北理6）在，，，四个函

3、数中，当时，使得恒成立的函数的个数是·······································（）2、（06重庆理9）如图所示，单位圆中弧的长为，表示弧与弦所围成弓形面积的倍，则函数的图象是·······························································（）3、（07江西理8）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，则它们的大小关系正确的是··

4、···································（）、、、、4、（98全国理10）向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如下图所示，那么水瓶的形状是·······························································（）5、（09广东理8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为和.（如图2所示）．那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是（）、在时刻，甲车在乙车前面、时刻后，甲车在乙车后面、在时刻，两

5、车的位置相同、时刻后，乙车在甲车前面6、（00江西理7）若，，，，则·······（）7、（11山东理9）函数的图象大致是········································（）8、（13新课标I文9）函数在上的图象大致为··················（）9、（16新课标7）函数在的图象大致为·································（）10、（13江西理10）如图，半径为的半圆与正夹在两平行直线，之间，，与半圆相交于，两点，与两边相交于，两点.设弧的长为（），，若从平行移动到，则函数的图象大致是··

6、····································（）11、（17全国II理23）已知，，，则的最大值为_____________.12、已知，，，则的最小值为____________.13、已知，且，，则__________.（填）14、已知，，，且，则的最小值为________.15、在中，的最大值为______________.16、已知，，，且，则的最小值为_____________.17、已知，，，且，则的最小值为_____________.18、已知，，，，，则的最小值为________.19、已知，且，则的最小值为____

7、________.20、（10安徽文16）若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是__________.①；②；③；④；⑤21、（14新课标理24）若，且.则的最小值_____________.22、（15重庆文14）已知，且，则的最大值为___________.23、（05全国卷理22）（1）设函数，求的最小值；（2）设正数满足：.求证：24、（06四川理22）已知函数，的导函数是.对任意两个不相等的正数，，证明：当时，.