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1、一、函数极限的定义例5例6例7练习练习：定义2设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,记作A为函数一、函数极限的定义描述性定义:当无限增大时，如果函数图像向左、右两方无限接近于同一条水平直线y=A,则称常数A为x趋向无穷大时函数f(x)的极限.几何解释直线y=A称为曲线的水平渐近线.一、函数极限的定义直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.当时,有当时,有几何意义例如,都有水平渐近线都有水平渐近线又如,一、函数极限的定义两种特殊情况一、函数极限的定义类似地例如:例8证明例9证明二、函数极限的性质2.局部有界性1.唯一性:3.保序性二、函数极限的
2、性质推论4.局部保号性注意：推论条件中的改成<(>)，结论仍不变。若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有分析:5.局部强保号性6.函数极限与数列极限的关系（证明略）利用性质6的推论证明极限不存在例：二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节无穷小与无穷大第一章四、学习无穷小与无穷大的意义定义1若时,函数(或)则称函数为(或)时的无穷小.一、无穷小当例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小.说明(1)除0以外任何很小的常数都不是无穷小.(2)变量是否为无穷小与变化过程有关.一、无穷小定理1(无穷小与函数极限的关系)其中(x)为时的无穷小量.定理2
3、有限个无穷小的代数和是无穷小.★定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小之积为无穷小.推论1常数与无穷小之积为无穷小.一、无穷小若在定义2中将①式改为则记作则称函数当时为无穷大,记作定义2若任给M>0,一切满足不等式的X,总有使对①(正数X),总存在二、无穷大注意1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种过程;2.函数为无穷大,必定无界;但反之不真.例如:函数不是无穷大.3.若则直线为曲线的铅直渐近线.二、无穷大1.无穷大与有界变量的代数和是无穷大.2.无穷大与非零常数的乘积是无穷大.3.无穷大与无穷大的乘积是无穷大.注意1.无穷大与无
4、穷大之和不一定是无穷大.但两个同号的无穷大之和是同号的无穷大.★无穷大的性质2.无穷大与有界变量的乘积不一定是无穷大.二、无穷大二、无穷大若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则由定理4,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理4在自变量的同一变化过程中,说明三、无穷小与无穷大的关系对一个函数而言,在自变量的某个变化过程中,其四、学习无穷小和无穷大的意义无穷小恰为极限存在时的特殊情况,无穷大是极限不要么有极限,要么无极限,二者必居其一,且仅居其一.存在时的特殊情况.只要抓住这两种特殊情形,就可以有助于解决一般性的问题.练习一、极限的四则运
5、算法则二、复合函数的极限运算法则三、极限的计算方法第五节极限运算法则第一章一、极限的四则运算法则定理1★注意使用运算法则前提,参与运算的极限都存在.推论一、极限的四则运算法则定理2说明若定理中则类似可得二、复合函数的极限运算法则1.直接利用极限运算法则三、极限的计算方法小结代入法例如三、极限的计算方法2.无穷小与有界变量乘积仍为无穷小三、极限的计算方法3.无穷小与无穷大的关系4.分解因式约去零因子(零因子约分法)例5计算例6计算三、极限的计算方法5.有理化约去零因子例7计算例8计算三、极限的计算方法例9计算6.分子、分母同除以无穷大量法三、极限的计算方
6、法例11注意为非负常数)★一般有如下结果：三、极限的计算方法三、极限的计算方法7.无穷大减无穷大:通分或者有理化三、极限的计算方法三、极限的计算方法★极限计算的思路分析无穷小与有界变量乘积为无穷小无穷小与无穷大的关系4.分解因式约去零因子直接利用极限运算法则5.有理化约去零因子7.通分或者有理化状态归类晓定者仅三条悟得转化术极限知多少(转化为确定型)极限计算小结6.分子、分母同除以一个无穷大
