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1、第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节极限运算法则时,有一、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，(P57题4(2))类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.例1.求解:利用定
2、理2可知说明:y=0是的渐近线.练习1：P493二、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理3.若(1)定理3.若则有提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)例2.设n次多项式试证证:(2)为无穷小(详见书P44)定理3.若且B≠0,则有证:因有其中设无穷小有界由极限与无穷小关系定理,得因此为无穷小,(3)x=3时分母为0!例3
3、.设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:若不能直接用商的运算法则.例4.若练习2：P491(1)(2)x=3时分母为0!分式函数其中都是多项式,则:说明:若不能直接用商的运算法则.例4.若(消去零因子法)练习3：P491(3)(5)例5.求解:x=1时,分母=0,分子≠0,但因无穷大与无穷小的关系练习4：P492(1)定理4.若则有提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3直接得出结论.1（12）解先变形再求极限法先作恒等变形,和式的项数随着n在变化,再求极限.使和式的项数固定,不能用运算法
4、则.方法练习5：P491(11)定理5若且则利用保号性定理证明.提示:令例6.求解:分子分母同除以则“抓大头”原式以分子、分母中自变量的最高次幂除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.注：结论中自变量的变化过程是趋向无穷大，而非趋于有限值x0.一般有如下结果：为非负常数)(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)练习6：P491(7)(13),2(2)(3),“抓大头”三、复合函数的极限运算法则定理7.设且x满足时,又则有证:当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.定理7.设且x满足时,又
5、则有说明:若定理中则类似可得例7.求解:令,仿照例4∴原式=(见P34例5)例4例8.求解:方法1则令∴原式方法2求在x=0处的左右极限并判断x=0处的极限是否存在.内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(要求分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th6作业P491(3)，(8)，(12)，(14)3第六节预习
6、：§6极限存在法则，两个重要极限注意（1）运用极限法则时，必须注意只有各项极限存在（除式，还要分母极限不为零）才能使用；（2）如果所求极限呈现等形式不能直接使用极限法则，必须先对原式进行恒等变形（约分，通分，有理化，变量替换等），然后再求极限；（3）可以利用无穷小的运算性质求极限。练习.求解这是人们常说的“”型极限，不能直接利用差的极限运算法则.采用先通分再利用前面介绍的求极限的方法.思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式2.问3.求解法1
7、原式=解法2令则原式=4.试确定常数a使解:令则故因此备用题设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故
