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1、第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节极限运算法则7/30/2021高数同济六版时,有一、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.7/30/2021高数同济六版说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，(P57题4(2))解答见课件第二节例5类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.7/30/2021高数同济六版定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:设又设即当时,有取
2、则当时,就有故即是时的无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.7/30/2021高数同济六版例1.求解:利用定理2可知说明:y=0是的渐近线.7/30/2021高数同济六版二、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理3.若7/30/2021高数同济六版推论:若且则(P46定理5)利用保号性定理证明.说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令7/30/2021高
3、数同济六版定理4.若则有提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)例2.设n次多项式试证证:7/30/2021高数同济六版为无穷小(详见书P44)定理5.若且B≠0,则有证:因有其中设无穷小有界由极限与无穷小关系定理,得因此为无穷小,7/30/2021高数同济六版定理6.若则有提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3,4,5直接得出结论.7/30/2021高数同济六版x=3时分母为0!例3.设有
4、分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:若不能直接用商的运算法则.例4.若7/30/2021高数同济六版例5.求解:x=1时,分母=0,分子≠0,但因7/30/2021高数同济六版例6.求解:分子分母同除以则“抓大头”原式7/30/2021高数同济六版一般有如下结果：为非负常数)(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)7/30/2021高数同济六版三、复合函数的极限运算法则定理7.设且x满足时,又则有证:当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.7/30/2021高数同济六版定理7
5、.设且x满足时,又则有说明:若定理中则类似可得7/30/2021高数同济六版例7.求解:令,仿照例4∴原式=(见P34例5)例47/30/2021高数同济六版例8.求解:方法1则令∴原式方法27/30/2021高数同济六版内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(要求分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th
6、3Th4Th5Th77/30/2021高数同济六版思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式2.问7/30/2021高数同济六版3.求解法1原式=解法2令则原式=7/30/2021高数同济六版4.试确定常数a使解:令则故因此7/30/2021高数同济六版作业P491(5)，(7)，(9)，(12)，(14)2(1)，(3)3(1)5第六节7/30/2021高数同济六版备用题设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求
7、故7/30/2021高数同济六版
