高数同济15极限运算法则

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1、极限的四则运算法则§1.5极限运算法则上页下页铃结束返回首页1(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB定理3如果limf(x)=Alimg(x)=B那么下页一、极限的四则运算法则(1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB>>>>>>推论2返回证明定理3如果limf(x)=Alimg(x)=B那么(1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB一、极限的四则运算法则则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,

2、知定理结论成立.3为无穷小(详见P44)定理3.若且B≠0,则有证:因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,4(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB推论1如果limf(x)存在而c为常数则lim[cf(x)]=climf(x)推论2如果limf(x)存在而n是正整数则lim[f(x)]n=[limf(x)]n定理3如果limf(x)=Alimg(x)=B那么下页一、极限的四则运算法则(1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB5二、数列

3、极限的四则运算法则定理5如果f(x)g(x)而limf(x)=alimg(x)=b那么ab三、不等式(保序性)定理4设有数列{xn}和{yn}如果那么下页利用保号性定理证明.提示:令6五、求极限举例讨论提示例1解下页>>>例2解7解例3解例4根据无穷大与无穷小的关系得下页因为提问(消去零因子法)8讨论提示当Q(x0)P(x0)0时约去分子分母的公因式(xx0)下页9先用x3去除分子及分母然后取极限解先用x3去除分子及分母然后取极限例5解:例6下页(无穷小因子分出法)10讨论提示例7解所以下页11解当x时

4、分子及分母的极限都不存在故关于商的极限的运算法则不能应用例8是无穷小与有界函数的乘积下页12定理6(复合函数的极限运算法则)说明设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0则把定理中g(x)u0(xx0)换成g(x)(xx0或x)而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可类似结果下页>>>13定理6(复合函数的极限运算法则)结束设函数yf

5、[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0则例9解>>>14思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？思考题解答没有极限．假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．15