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1、考点16正、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理1．正弦定理在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立．2．常见变形（1）（2）（3）（4）正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径.3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．4．在中，已知，和时，三角形解的情况二、余弦定理1．余弦定理三角形中任何一边的
2、平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：.3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．4．利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用1．三角形的面积公式设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1）(h为BC边上的高)；（2）；（3）(为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA．3．测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线
3、上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．（3）方向角相对于某一正方向的水平角.①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．4．解三角形实际应用题的步骤考向一利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相
4、应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在中，，其变式有：，等．（2）三角形中的三角函数关系：；；；.典例1在中，内角所对的边分别为，若，，则的值为A．1B．C．D．【答案】D又，由余弦定理可得，即，所以.故选D．典例2已知的内角的对边分别为,且.(1)求；(2)若,
5、线段的垂直平分线交于点,求的长.【解析】(1)因为,所以.由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知,根据余弦定理可得，所以.由正弦定理得，即，解得.从而.设的中垂线交于点,因为在中,，所以，因为为线段的中垂线，所以.1．在中，,,分别是角，，的对边，且，则=A．B．C．D．2．在中，边上一点满足，.（1）若，求边的长；（2）若，求.考向二三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角
6、函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例3在中，角所对的边分别是，满足，且成等比数列.（1）求角的大小；（2）若,试判断三角形的形状.【解析】（1）已知,∵，,又,，即，而成等比数列，所以不是最大，故为锐角，所以.（2）由,得,利用正弦定理可得,又因为,所以,所以是等边三角形.3．在中，，，分别为角，，所对的边，若，则A．一定是锐角三角形B．一定是钝角三角形C．一定是斜三角形D．一定是直角三角形考向三与面积、范围有关的问题（1）求三角形面
7、积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．（2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．典例4在中，
