备战2019年高考数学考点一遍过专题16正、余弦定理及解三角形文

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1、考点16正、余弦定理及解三角形1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.应用能够运用正眩定理、余眩泄理等知识和方法解决一些与测量和几何讣算有关的实际问题.肖知识整®一.正弦定理1.正弦定理在△ABC屮，若角A,B,Q对应的三边分别是日，b,c,则各边和它所对角的正弦的比相等，即丄7=—2二=—^.正弦定理对任意三角形都成立.sinAsinnsinC2.常见变形sinAasinCcsinBbDKA•广au•d(1)=—,=一，=—,asinB=bsmA.asinC=csinA.bsmC=c

2、sinB;sinBbsinAasinCc“、abca+ba+cb+ca+b+c(2)=—==—；=—；==；；sinAsinBsinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinCsinA+sinB+sinC(3)«::c=sinA:sinB:sinC;cihc(4)正眩定理的推广：——=——=其中ABC的外接圆的半径.sinAsinBsinC3.解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.4.在△ABC中，已知a,b和A时，三角形解的情况A为锐角A为钝角或直角图形

3、AicarzVJy.43、•.…••B.4、•B(:AA■关系式a=AsinAbsAha^b解的个数一解两解一解一解无解二、余弦定理1.余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即a2=Z?2+c2一2bccosA,b1=a1+c2-2accosB,c2=a1+b2-labcosC.2.余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论:b1+C1-a2_2b^~c2+a2-It2ca,cosC=a2+b2-c2Zab3.解决的问题(1)已知三边，求三个角；(

4、2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角.4.利用余弦定理解三角形的步骤(1)两边和它余弦定理r-—-»另一边们的夹角」弦定理―审丽或余弦定理推论—三角形三边f—角—►三角余弦定理推论>jE弦定理"另两角三、解三角形的实际应用1.三角形的面积公式设厶ABC的三边为日，b,c,对应的三个角分别为力，B,C其而积为S.（1）S=-ah（h为BC边上的高）;2（2）S=—ftcsinA=—acsinB=丄dbsinC；222（3）S二*Ha+b+c）（厂为三角形的内切圆半径）.2.三角形的高的公式加二方sinC=csin必力尸cs

5、inA=asinC,/i（=asin伕力sin彳.3.测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角屮，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）.线（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如〃点的方位角为Q（如图②）.（3）方向角相対于某一正方向的水平角.①北偏东a,即由指北方向顺吋针旋转Q到达目标方向（如图③）；②北偏西a,即由指北方向逆时针旋转。到达目标方向；③南偏酋等其他方向角类似.（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角〃为坡角）；②坡度：坡面的铅直高度与水平

6、反度Z比（如图④，/为坡度）.坡度乂称为坡比.1.解三角形实际应用题的步骤考向一利用正.余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件（即边和角）作出相应的图形，并在图形屮标出相关的位置.（2）选择正眩定理或余眩定理或二者结合求出待解问题.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理；如杲遇到的式子川含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用.常见结论：（1）三角形的内角和

7、定理：在AABC中，A+3+C=tc,其变式有：A+B=兀—（？，业色=兰一£等.222（2）三角形中的三角函数关系：sin(A+3)=sinC；cos(A+3)=-cosC；.A+BCsin=cos—；22A+B.Ccos=sin—.22典例引领典例1在AABC屮，内角力DC所对的边分别为4b,c,若bsmZA+^ISasinB=0fb=、gc,则£的值为a由正弦定理得"nCsinB,即/2sinB2【答案】D【解析】由&血24+V3osinB=0,结合正弦定理，可得sinBsin244-73smXsmS=0,即2sinBsi

8、iiXcos4+-/S^nAsmB=0＞由于sinBsiiM丰0＞所以cos卫=-—?因为0＜丄＜兀，所以4=乎・又b=&C,由余弦定理可得/=b2+c2-2bccosA=3c2+c2+3c2=7c2,c=V7即护=7/,所以a~T故选D.典例2已知AABC的内