杨辉矩形定理.doc

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1、4．一条重要的面积定理　　在《详解九章算法》及《续古摘奇算法》中，杨辉讨论了勾股容方问题，并在后书中给出如下定理：　　“直田之长名股，其阔名勾，于两隅角斜界一线，其名弦．弦之内外分二勾股，其一勾中容横，其一股中容直，二积之数皆同．”　　图5中，横指BE，直指DE，推测其证明思路如下：　　因为△ABC＝△CDA(指面积相等，下同)，　　又因为△AIE=△EHA，△EFC=△CGE，　　所以　　△ABC-△AIE-△EFC　　=△CDA-△EHA-△CGE，　　即BE=DE．　　此定理反映了我国传统几何的一条重要原

2、理——出入相补．实际上，△AIE可以移置△EHA处，△EFC也可以移置△CGE处，所以等积．这种思想在刘徽《海岛算经》及赵爽“日高术”中已反映出来．但首次表达成定理形式的是杨辉．该定理在平面几何中有广泛的应用．实际上，《海岛算经》中的各种测量公式都可由它推出．　　杨辉曾做过地方官．足迹遍及钱塘、台州(今浙江临海)、苏州等地．与他同时代的陈几先称赞他“以廉饬己，以儒饰吏”．杨辉特别注意社会上有关数学的问题，多年从事数学研究和教学工作，是东南一带有名的数学家和数学教育家．他走到哪里都有人请教数学问题．从1261年到

3、1275年的15年中，他先后完成数学著作5种21卷，即《详解九章算法》12卷(1261)，《日用算法》2卷(1262)，《乘除通变本末》3卷(1274)，《田亩比类乘除捷法》2卷(1275)和《续古摘奇算法》2卷(1275)(其中《详解》和《日用算法》已非完书)．后三种合称为《杨辉算法》．　　关于这五部书的编著过程，杨辉写道：“《九章》为算经之首，辉所以尊尚此书，留意详解．或者有云：无启蒙之术，初学病之，又以乘除加减为法，秤斗尺田为问，目之曰《日用算法》，而学者粗知加减归倍之法，而不知变通之用，遂易代乘代除之术

4、，增续新条，目之曰《乘除通变本末》，及见中山刘先生益撰《议古根源》，演段锁积，有超古入神之妙，其可不为发扬，以俾后学，遂集为《田亩算法》．通前共刊四集，自谓斯愿满矣．一日忽有刘碧涧、丘虚谷携诸家算法奇题及旧刊遗忘之文，求成为集，愿助工板刊行．遂添摭诸家奇题与夫缮本及可以续古法草总为一集，目之曰《续古摘奇算法》．”(《续古摘奇算法》序)　　以上《乘除通变本末》3卷，上卷叫《算法通变本末》，中卷叫《乘除通变算宝》，下卷叫《法算取用本末》，下卷是与史仲荣合撰的．　　杨辉数学著作的特点是深入浅出、图文并茂，很适于教学，

5、而且有不少创新．另外，杨辉的书中还记录了一些古代有价值的数学成果，如贾宪的增乘开方法和开方作法本源图载于《详解九章算法》的《纂类》，刘益的正负开方术载于《田亩比类乘除捷法》．杨辉自己的成就，主要表现在以下各方面．　　1．垛积术　　杨辉的垛积术，是在沈括像积术的基础上发展起来的，置于《详解九章算法》的商功章．他研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四棱台)体积为　　其中a为上底边长，b为下底边长．　　若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a×a个球组成，以

6、下各层的长、宽依次各增加1个球，共有n层，最下层(即下底)由b×b个球组成，杨辉给出求方垛中物体总个数的公式如下：　　比较一下上面两式就会发现，后者与前者的区别在于小括号内多了阶等差级数求和公式，即a2+(a+1)2+(a＋2)2+…+(b-1)2+b2　　杨辉垛积术中属于级数求和的共有四个，其余三个是　　　　　　　a·b＋(a＋1)(b＋1)+(a＋2)(b＋2)+…+(c-1)(d-1)＋c·d　　　　除了(4)式与沈括隙积术公式相同外，其他公式均为杨辉独立推出．　　2．捷算法与素数　　杨辉致力于捷算法的研

7、究，并取得一些成就．例如，《算法通变本末》中记载着一种叫“重乘”的算法，即把乘数分解为若干因数之积的形式，然后用因数去乘．杨辉说：“乘位繁者，约为二段，作二次乘之，庶几位简而易乘，自可无误也．”例如38367×23121，杨辉便把23121分解为9×7×367，然后再乘38367．　　由于捷算法的需要，杨辉注意到一个整数是合数还是素数的问题．他说：“置价钱(即23121文)为法，约之．先以九约，又以七约，乃见三百六十七，更不可约也．”所谓不可约，就是说除了1和本身外没有其他约数．显然，杨辉的“不可约”之数即素数

8、．他在这里首次提出素数概念，又在《法算取用本末》中列出了从201到300的素数表，共16个：211，223，227，229，233，239，241，251，257，263，269，271，277，281，283，293．　　这实际是201到300的全部素数．虽然杨辉对素数的研究远在欧几里得之后，理论上也不够完整，但他在没有外来影响的情况下注意到这一重要问题，其思想之深刻是值得称道的．