高中数学专题2.11 已知不等恒成立，分离参数定最值（原卷版）.doc

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1、专题11已知不等恒成立，分离参数定最值【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层

2、级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。俗话说，形缺数时难入微。【典例指引】例1己知函数.（1）若函数在处取得极值，且，求；（2）若，且函数在上单调递増，求的取值范围.解：（1），由题意可得：，又，所以.经检验适合题意.(2)，在上单

3、调递增在上恒成立在上恒成立法一（分离参数＋函数最值）：则在上恒成立，令，下面求在上的最大值.，令，则.显然，当时，，即单调递减，从而.所以，当时，，即单调递减，从而.因此，.法二（直接化为最值＋分类讨论）：令，.令，①当时，，所以，即在上单调递减.而，与在上恒成立相矛盾.②当时，则开口向上(方案一）：Ⅰ.若，即时，,即，所以在上递增，所以，即.Ⅱ.若，即时，此时，不合题意.(方案二）：Ⅰ.若对称轴，即时，则在上为增函数，，即，所以在上递增，所以，即.Ⅱ.若对称轴，即时，则，不合题意.法三（缩小范围＋证明不等式）：令，则.另一方面，当时

4、，则有，令，开口向上，对称轴，故在上为增函数，所以在上为增函数，则，故适合题意.例2.(2016全国新课标Ⅱ文20)己知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.简析：（Ⅰ）的定义域为.当时，，，，所以曲线在处的切线方程为.（Ⅱ）法一（参考答案，系数常数化）：在恒成立在恒成立，令，①当时，则)时，,故，在上是增函数，故有②当时，则，，由，故，在上是减函数，故有，故不适合题意.综上，实数的取值范围为法二（直接化为最值）：在恒成立，则(导函数为超越函数）；在为增函数，则（1）当即时，则(当且仅当时，取“”)，故

5、在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意.（2）当即时，则，且，故在有唯一实根，则在为减函数，在增函数，又有，则存在,使得，故不适合题意.综上，实数的取值范围为.法三（分离参数）：在恒成立在恒成立（端点自动成立），则设，令在为增函数，则在为增函数，又因，故实数的取值范围为法四（缩小范围）：在恒成立，且，则存在，使得在上为增函数在上恒成立，令.又当时，在为增函数，则(当且仅当(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意.综上，实数的取值范围为.点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩

6、小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。2.(重庆市2015届一诊理20)已知曲线在点处的切线的斜率为1；（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.解：（Ⅰ）由题知∴，，在上单减，∴在上恒成立即在上恒成立，，∴；（Ⅱ）法一（直接化为最值）令，则在上恒成立，当即时，，在上单减，∴，符合题意；当时，，在上单增，∴当时，，矛盾；当时，在上单减，上单增，而，矛盾；综上，.法二（分离参数）在上恒成立（端点自动成立）设，令在上为减函数，则在上为减函数，又因，故实数

7、的取值范围为法三（缩小范围）：令，则在上恒成立，注意到，，则存在，使得在上为减函数在上恒成立，又有.则存在，使得在上为减函数[来源:学科网ZXXK]在上恒成立，又有.又当时，则[来源:学科网]（1）若时，，在上单减，∴，符合题意；（2）若时，则，故在上单减，上单增，而，矛盾；[来源:学+科+网]综上，实数的取值范围为点评：（1)在端点处恰好适合题意，分离参数所得函数却在时得到下确界，值得留意.（2）缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩短解题步骤。（3）构造反例，寻找合适的特殊值，具有很

8、强的技巧性。因函数分解为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的零点为，而二次函数的零点为及，又知当时，零点，故易得，从而导出矛盾。【扩展链接】洛必达法则简介：[来源: