每日一题型 7 恒成立之分离参数最值法

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1、每日一题型7恒成立之分离参数最值法在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立问题．这类问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．因此也成为历年高考的一个热点．分离参数最值法主要通过两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、,思路2、,先看看几道例题：1．函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得.即而所以2.已知当xR时，不等式a+cos

2、2x<5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,∴即上式等价于或解得.注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解：a+cos

3、2x<5-4sinx+即a+1-2sin2x<5-4sinx+,令sinx=t,则t[-1,1],整理得2t2-4t+4-a+>0,(t[-1,1])恒成立。设f(t)=2t2-4t+4-a+则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在[-1，1]内单调递减。只需f(1)>0,即>a-2.(下同)3.　(2016·德州一模)已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x.(1)若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实数a的值；(2)若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；(3)当a＝－时，关于x的方程f(x)＝－x＋b在[1，4]上恰有两个不相

4、等的实数根，求实数b的取值范围．解：(1)f′(x)＝－(x>0)，∵x＝2时，f(x)取得极值，∴f′(2)＝0，解得a＝－，经检验知符合题意．(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，依题意f′(x)≥0在x>0时恒成立，即ax2＋2x－1≤0在x>0恒成立，即a≤[(－1)2－1]min(x>0)，当x＝1时，(－1)2－1取最小值－1，∴a的取值范围是(－∞，－1]．(3)a＝－，f(x)＝－x＋b，即x2－x＋lnx－b＝0.设g(x)＝x2－x＋lnx－b(x>0)，则＝.当，g(x)单调递增.当，g(x)单调递减.当，g(x)单

5、调递增.∴g(x)极小值＝g(2)＝ln2－b－2，g(x)极大值＝g(1)＝－b－.又g(4)＝2ln2－b－2.∵方程g(x)＝0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，则解得ln2－2

6、)(2016·武汉模拟)已知函数(a>0).(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值.(2)若f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.提示：(1)x=1是函数f(x)的一个极值点,即=0.(2)f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,即f(x)min≥0.解：(1)因为(a>0),因为x=1是函数f(x)的一个极值点,所以=0,即a=2.经检验a=2满足题意.(2)因为f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,所以f(x)min≥0.当0

7、=f(0)=0成立,即01时,令>0,则x>a-1,令<0,则0≤xf(a-1),矛盾.综上,a的取值范围为(0,1].下面完成几道练习：1.(2016·石家庄模拟)已知函数f(x)=x-2lnx-+1,(1)若函数f(x)在定义域上是增函数,求a的取值范围.(2)求g(x)的最大值.答案：(1)a的取值范围是[1,+∞).(2)g(x)最大值g(1)=-e.2.已知函数f（x）=xlnx（1）求

8、函数f（x）的最小值；（2）若对一切x∈（0，+∞），都有f（x）≤x2-ax+2恒成立，求实数a的取值范围；答案：（1）f（x）最小值；（2）a∈（-∞，3-ln