每日一题型6恒成立之二次函数区间恒成立

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1、每Fl—题型6恒成立之二次函数区间恒成立对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法、分离参数最值法等•而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题即最值法，此种类型常伴随分离参数、树形结合、实根分布问题。设/(x)=ax+bx+c(a工0)(1)当。〉0时，/(兀)〉0在炸妝0]上恒成立/(G)>0a<-A<0b2aM(0)>o“(q)<0]/(0)<0/(6Z)>0A<0a~-^a/(x)<0在兀e[a,/3]上怛成立<=>(2)当a<0吋，/(x)>0在xe[a.p]上怛成立。严)>01.W)>o/(x)<0在xg[a上怛成立，<=>下面看

2、几道例题例1.设/(x)=za-2«x+2,当"[-hg时,恒成立，求实数瞬的取值范围。解：设Fg=H-2wx+2-»i,则当时，ffQONO恒成立当i=4O-1X«+2)<0flP-2<«0显然成立;当A30时，如图，凤0*0恒成立的充要条件为:L/W1■o!A&027(-1)a0卜4解得一3<—I?o综上可得实数需的取值范围为[-刃)。注意：此题参数在一次项的系数上和常数项上，并且区间有正有负，也可认为是展开对对称轴在不同位置的讨论.例2.已知函数f(x)=x2+ax+3-a9若xe[-2,2]时，/(x)no恒成立，求°的取值范围.分析:要使xe[-2

3、,2]时，/(%)>0恒成立,只需/⑴的最小值g(O)>0即可.(¥2解：代x)=兀+彳-牛-q+3,令/(兀)在［-2,2］上Z丿4的最小值为g(a).(1)当--<-2,即°>4时，g⑷=/(一2)=7-3处07、/:.a<—又•・•a〉43・力不存在.(2)当一2—冬<2,即-4

4、)=-d+3no..-62,即a<-4时，g(a)=/X2)=7+a>0「.d—74.*.—7<—4综上所述，-l

5、置的讨论.例3.函数沖Jg,若对任意咽㈣，恒成立，求实数。的取值范围。解：若对任意”［川叭于(力>0恒成立,即对词阳,xa+2x+«"恒成立,考虑到不等式的分母"2*0,只需+2卄a:>0在时恒成立而得.而抛物线«ix)=x?+2x+a在加［*>〉的最小值g—(R=g(D=34-a>0得d〉-3注意：此题参数在常数项上，并且区间为正.此题相当于转化为a>/(兀)型恒成立问题.下面再来看两道练习：1.当xg(1,2)时，不等式X2+mjc+4<0恒成立，则m的取值范围•(改为大于零怎么解呢？)2.若co,-1时，1+3“+(a-护)9“〉Of旦成立，求实数a的取值范围.3.已

6、知函数f(x)=x2+mjc-,若对于任意的xe［m,m+l］都有/(%)<0则实数加的取值范围.答案:2.(-3,4)