二次函数恒成立问题

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1、二次不等式恒成立问题　一、恒成立问题的基本类型：　　类型1：设，　（1）上恒成立；　（2）上恒成立。　类型2：设　（1）当时，上恒成立，　　上恒成立　　（2）当时，上恒成立　　上恒成立　　　类型3：　　。　　类型4：　　二、恒成立问题常见的解题策略：　　策略一：利用二次函数的判别式　对于一元二次函数有：　　　（1）上恒成立；　（2）上恒成立　例1.若不等式的解集是R，求m的范围。　　　解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。　　（1）当m-1=0时

2、，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；　　8　　　　　（2）时，只需，所以，。　策略二:利用函数的最值（或值域）　　（1）对任意x都成立；　　　（2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。　　例2.已知，若恒成立，求a的取值范围.　　　解析本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意.若恒成立　　　或或，即a的取值范围为.　策略三：利用零点分布　例3.已知，若恒成立，求a的取值范围.　　解析本题可以考虑f(x)的零点分布情况

3、进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或或，即a的取值范围为[-7，2].　　　点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了.　O　　x　　　yx　　　-1　　变式：设，当时，恒成立，求实数的取值范围。　　解：设，则当时，恒成立　当时，显然成立；　当时，如图，恒成立的充要条件为：　8　　　　　解得。综上可得实数的取值范围为。　　　策略四：分离参数法　　　若所给的不等式能通过恒等变形使参

4、数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：　1）恒成立　　　2）恒成立　　　例4.函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。　　　解：若对任意，恒成立，　即对，恒成立，　考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得　　　　在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。　变式：已知函数时恒成立，求实数的取值范围。　　　解：将问题转化为对恒成立。　　　令，则　由可知在上为减函数，故　　∴即的取值范围为。　注

5、：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。　策略五：确定主元　　　8　　　　　在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。　例5.若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。　　　解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是　　　总结：利用了一次函数有：　　　　变式：对任意，不

6、等式恒成立，求的取值范围。　分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。　　解：令，则原问题转化为恒成立（）。　　当时，可得，不合题意。　　当时，应有解之得。　故的取值范围为。　策略六：消元转化　例6.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若　，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围.　　　解析本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故f(x)在[-1,1]上的

7、最大值为f(1)=1,则对于所有的恒成立对于所有的恒成立，即对于所有的恒成立，令，只要，．　　　8　　　　　点评对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决.　　　以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。　　三、巩固练习　1.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若关

8、于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m　解：（1）设.则关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得　（2）设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.　　2.若函数在R上恒成立，求m的取值范围。　　　分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。　　　略解：要使在R上恒成立，即在R上　恒成立。　时