“恒成立”问题的分离参数解法.doc

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1、“恒成立”问题的分离参数解法江苏省扬州市邗江区瓜洲中学万军参数讨论是高中数学教学中的一个重点、难点．同时也是高考试题中的热点．参数讨论的方法多种多样，笔者认为其中的分离参数法，因其具有思路清晰、有章可循、操作性强、易于掌握的特点，所以在解答某些恒成立条件下参数的取值范围问题时，不失为一种较好的方法．一、曲线恒过定点的问题有关含有参数的曲线方程的恒成立问题是学生普遍感到困难的问题．参数与主元交错在一起，目标不明确，将参数分离出来，可使问题明朗化．例1已知，证明直线恒过定点．证明：由，得，代入直线方程后分离参数，得由方程组解得方程表示经过两直线与的交点的直线系方程．故直线在时恒过定点．例2已

2、知动圆，，定圆(1)证明不论取任何实数值，动圆恒过一个定点；(2)求，使圆与圆相切．证明：(1)将圆中的参数分离出来，得(*)5方程组，有一解(*)式表示过直线与圆的交点的圆系方程.故动圆不论取任何实数值恒过定点.(2)将圆配方，得当圆与圆两半径之和等于圆心距时，两圆相外切，即解得当两圆半径之差的绝对值等于圆心距时，两圆相内切，即解得综上所述，当时，两圆相切．二、方程恒有解的问题分离参数法源于函数思想、化归思想．在含有参数的方程中，将参数视为主变元的函数，若能通过适当的恒等变形，使方程一端化成只含参数的解析式，而另一端为与参数无关的主变元的函数．函数关系就由“隐”转化为“显”．我们只要能

3、求出主变元函数的值域，则参数的取值范围便可以确定了．　例3关于的方程恒有解，求实数的取值范围．解：分离参数，得当时方程恒有解（时取“＝”）5此例充分体现了分离参数法的优越性，显然要比“判别式”法简捷，且不易出错．例4关于的方程恒有解，求实数的取值范围．解：原方程等价于（其中．分离参数，得　　　例5　已知方程中，问取何值时方程至少有一整数根．解：原方程化为不是原方程的根，，解得取整数的值只有-3，-1，0，1四个，对应的的值为1，5，和1当时，原方程至少有一个整数根．三、不等式恒成立问题恒成立条件下不等式中参数的取值范围问题，涉及的知识面广、综合性强，同时数学语言抽象，从题目中如何提取可借

4、用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅．但是如果能将参数分离出来，建立起明确的关系，则由下述两个基本命题便能简捷的求出参数的取值范围．命题１若，则在时恒成立的充要条件是．命题２若，则在时恒成立的充要条件是．5将两命题结论通过数轴表示出来既直观又易于掌握理解．（证明从略）两命题可简记为“大于时大于值域上限，小于时小于值域下限”．这样容易记忆，便于应用．例6在什么范围内时,对于总有不等式成立?解：当时，对一切实数原不等式恒成立．分离参数．当时原不等式等价于．，　　设　则．根据函数的单调性，知在上为减函数．所以在上递减．　　　．由命题１可得综上所述，当时，原不等式总成立．例7不等式对一切实数恒成立

5、，求，满足的条件．解：将参数、分离出来，5原不等式变形为，．　　由命题１知当时，原不等式恒成立．例8若不等式在时恒成立，试求的取值范围．解：分离参数，由题设知　故．原不等式变形为　　在上为减函数，由命题2知．综上所述，的取值范围为．从以上例子可以看出用分离参数法解恒成立问题，其方法步骤学生容易理解掌握，程序也不复杂，通过恒等变形将参数分离出来之后，只要求出主变元函数值域的上限或下限（方程问题需求出值域）问题便迎刃而解了，当然分离参数法不是解恒成立问题的惟一方法，亦非万能．对具体问题要具体分析，选用恰当的方法．本文旨在使学生学一法，通一类，逐步提高综合运用知识解决问题的能力．5