第二讲 牛顿-莱布尼茨公式ppt课件.ppt

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1、牛顿－莱布尼兹公式§5-3第五章　定积分如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示为另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间[a,b]内物体的位移为s(b)–s(a)，所以又有问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系由于，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，定积分等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a,b]上的增量s(b)–s(a).猜想一、变上限的定积分微积分的基本公式二、牛顿－莱布尼兹公式牛顿－莱布尼兹公式一、变上限的定积分如果x是区间[a,b]

2、上任意一点，定积分表示曲线y=f(x)在部分区间[a,x]上曲边梯形AaxC的面积，如图中阴影部分所示的面积.当x在区间[a,b]上变化时,阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，所以变上限定积分yxy=f(x)axbOACB是上限变量x的函数.记作(x)，即≤≤(x)定理5.1若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则变上限定积分在区间[a,b]上可导，并且它的导数等于被积函数，即证按导数定义，给自变量x以增量x，x+x[a,b]，由(x)的定义得对应的函数(x)的量(x)，即(x)=(x+x)-(x)x+xACbBy=f(

3、x)xyxaO(x)根据积分中值定理知道，在x与x+x之间至少存在一点x，(x)又因为f(x)在区间[a,b]上连续，所以，当x0时有xx，f(x)f(x)，从而有(x)故使成立.定理5.1告诉我们，是函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，这就肯定了连续函数的原函数是存在的，所以，定理5.1也称为原函数存在定理.变上限定积分例1求(x).解根据定理1，得例2求F(x).解根据定理1，得二、牛顿－莱布尼兹公式定理5.2如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在区间[a,b]上任一原函数，那么（微积

4、分基本公式）证由定理5.1知道f(x)在[a,b]上的一个原函数，又由题设知道F(x)也是f(x)在[a,b]上一个原函数，由原函数的性质得知，同一函数的两个不同原函数只相差一个常数，即把x=a代入①式中，则，常数C=F(a)，于是得①≤≤令x=b代入上式中，移项，得再把积分变量t换成x，为了今后使用该公式方便起见，把②式右端的这样②式就写成如下形式：得②注意牛顿—莱布尼茨公式牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可

5、.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.例4计算下列定积分.解例5计算下列定积分.解例6设,求.解例7求原式解解把被积函数化简.例8计算解例9≤≤解面积微积分基本公式小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．练习题附录例求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.例求解