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1、第六章定积分求总量的问题教学目标（1）理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质；（2）了解微积分基本定理，掌握牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法；（3）了解反常积分的概念，会求无穷限区间上的反常积分；（4）了解定积分中所蕴含的辩证法和李善兰的贡献；教学重点：定积分的概念和性质、微积分基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法、定积分在几何学中的应用；教学难点：定积分的概念、定积分的换元积分法和分部积分法、非正常积分、微元法、定积分在几何学中的应用；教学时数：8学时；§1特殊和式的极限——定积分的概念§2计算定积分的一般方法——微积
2、分基本定理§3定积分的拓展——非正常积分§4定积分的魅力显示——在若干学科中的应用数学家启示录教学内容：1.1抽象定积分概念的两个现实原型原型Ⅰ求曲边梯形的面积设f(x)为闭区间[a,b]上的连续函数,且f(x)≥0.由曲线y=f(x),直线x=a、x=b以及x轴所围成的平面图形(图6.1)称为f(x)在[a,b]上的曲边梯形的面积s.xya=x0b=x0y=f(x)(图6.1)设质点m受力F的作用沿x轴由点a移动至点b,并设F平行于x轴(图6.2).如果F是常量,则它对质点所作的功为W=F(b-a)如果力F不是常量,而是质点所在位置
3、x的连续函数那么F对质点m所作的功W应如何计算呢?我们仍按求曲边梯形面积的思想方法来进行.原型Ⅱ求变力所作的功.oFab图6.2定义设f(x)是定义在区间[a,b]上的有界函数,用点将区间[a,b]任意分割成n个子区间[xi-1,xi](i=1,2,…,n)，这些子区间及其长度均记作△xi=xi-xi-1(i=1,2,…,n).在每个子区间△xi上任取一点,作n个乘积的和式，1.2定积分的概念如果当,同时最大子区间的长度时,和式的极限存在,并且其极限与区间[a,b]的分割法以及的取法无关,则该极限值称为函数f(x)在区间[a,b]上的
4、定积分,记作即.⑵在连续变力F(x)作用下,质点m沿x轴从点a位移到点b所作的功为F(x)在[a,b]上的定积分,即定积分存在称为可积,否则称为不可积.原型Ⅰ和Ⅱ的问题可以简洁地表述为:⑴连续曲线y=f(x)≥0在[a,b]上构成的曲边梯形的面积为函数y=f(x)在[a,b]上的定积分,即定积分的几何意义当f（x）≥0时,定积分的几何意义就是以曲线y=f（x）,直线x=a、x=b以及x轴为边的曲边梯形的面积S；如图6.3所示但若f（x）≤0,由定积分的意义可知,这时S为负值.对于一般函数f（x）而言,定积分S的值则是曲线在x轴上方部分
5、的正面积与下方部分的负面积的代数和.111.3求定积分过程中的辨证思维无论是求曲边梯形的面积,还是求变力作功,初等数学都无法解决,而高等数学可迎刃而解，奥妙在于高数的最主要部分（微积分）本质上式辩证法在数学方面的应用.定积分中的极限方法可以使有关常量与变量、变与不变等矛盾的对立双方相互转化,从而化未知为已知,体现了对立统一法则.同时也体现了否定之否定法则.1.4可积条件定理1（可积的必要条件）若函数f（x）在[a,b]上可积,则f（x）在[a,b]上有界.定理2（可积的充分条件）若f（x）是闭区间[a,b]上的连续函数,或者是闭区间[
6、a,b]上的单调函数,或者是[a,b]上只有有限个间断点的有界函数,则f（x）在[a,b]上可积.定理3（对积分区间的可加性）有界函数f（x）在[a,c]、[c,b]上都可积的充要条件是f（x）在[a,b]上可积,且定理2若f（x）、g（x）在[a,b]上可积,则f（x）±g（x）在[a,b]上也可积,且定理1若f（x）在[a,b]上可积,k为常数,则kf（x）在[a,b]上也可积,且1.5定积分的性质定理5（有界性）设m,M分别是f（x）在[a,b]上的最小值和最大值.若f（x）在[a,b]上可积,则定理4（保序性）设f（x）与g（
7、x）为定义在[a,b]上的两个可积函数.若f（x）≤g（x）,则定理6（定积分的绝对值不等式）若f（x）在[a,b]上可积,则在[a,b]上也可积,且定理7（积分中值定理）若函数f（x）在[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点,使得作业必作题：用定积分的定义计算选作题：习题6第一题.思考题定积分的定义中主要体现的数学思想是什么？定理1若函数f（x）在[a,b]上连续,则由变上限定积分定义的函数在[a,b]上可导,且2.1微积分基本定理即函数是被积函数f（x）在[a,b]上的一个原函数.也是f(x)的一个原函数,而这两个原函数之
8、差为某个常数,所以证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,又根据定理1,在上式中令x=b,就得到所要证明的公式得C=F(a).于是定理2设f(x)在[a,b]上连续,若F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原
