微积分C第3章习题.doc

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1、习3.12（2），求圆的面积为1时，面积变量相对于周长的变化率。解此时是的函数。于是对周长的变化率为。当时，此时。5(2).设，在点可导，求的取值范围。解设。当时，是函数的间断点，此时函数不可导。只讨论。考虑左导数，考虑右导数，因此该函数当时在点可导，导数为0.6.设。求使得在可导。解法1因可导必连续，则，则。这样在处也连续。此时，，。，。若存在，则应有。此时。解法2同理可得。，，则。，。若存在，则应有。此时。7.设在点连续，且。（1）求，（2）问在点处是否可导。解（1）由连续性可知。若，则，与题设矛盾。必

2、有，即。（2），由导数定义可知在点处可导，。8.设在点连续，求在处的导数。解由导数的定义注：不能，故。9.设，，，。求（1），（2），（3）解（1）原极限（2）原极限（3）原极限10.设，，求极限。解原极限。习3.21.3.求下列函数的导数（3）解。这里用到导数公式。（8）解此时。由公式，……则。用对数求导法两边求导数。则习3.31.设可导，求下列函数的导数(3)解（5）解2.求下列函数的导数（4）解（5）解。（6）解。（7）解。（8）解（9）解法一解法二对数求导法，。（10）解3.设（《全解》有误）（1）

3、若在内可导，求的取值范围；（2）若在内连续可导（即连续），求的取值范围。解（1）显然左导数。右导数，只有在时才有极限值0.则此时有导数。于是当时，处处可导，且。（2）显然在时连续（初等函数）。在处，。只有在时，这个极限存在且为0.4.已知与在点相切，求的值。（若两条曲线在点相交，且在这个交点处两条曲线的切线相同，则称两曲线在该点相切）解在处两曲线切线的斜率分别为，。相切时应有。根据相切的定义，在处应有，则。于是。5.设在上可导。证明（1）若是奇函数，则是偶函数；（2）若是偶函数，则是奇函数；（3）若是周期函

4、数，则也是周期函数且周期不变。证（1）若是奇函数，。左边求导数，右边求导数，于是，即。故是偶函数。（2）若是偶函数，。左边求导数，右边求导数，于是，即。故是奇函数。（3）若以为周期，。左边求导数，右边求导数，于是。故以为周期。6.设的反函数为，利用复合函数求导数的法则证明：若可导且，则。解此时，两边对求导可得，于是，即。7.设是由方程所确定的隐函数，求及该函数在点处的法线方程。解方程两端对求导。则，因此。该函数所确定的曲线在原点的切线斜率为。因此法线在该点的斜率为。由点斜式可知法线的方程为。8.设是由方程所

5、确定的隐函数。（1）求曲线与直线的交点坐标；（2）求曲线在交点处的切线方程。解（1）解方程组。第二个方程代入第一个方程。可得出交点。（2）隐函数求导，将交点坐标代入，则。切线为，。习3.44.求下列函数的微分（4），可微解法1。解法2.因，则。6.给定方程，求以及。解9.找原函数（1）解。因此。习3.51.设，求使得的点。解，。令，因，则只有。使得的点为。2.设，求出使得的的取值范围。解函数的定义域是。，。令，则。4.设是由方程所确定的隐函数，求及。解在方程两端求导数，可得。于是。再求二阶导数，注意都是的函

6、数，。2.设，求使得的的取值范围。解。，。当时，此时。4.设是由所确定的隐函数，求和。解方程两端对求导，解得。则。再求导。则。省略。5.设二阶可导，。求参数方程的导数。解8.证明。解法一用数学归纳法。时，，结论成立。假定结论对于成立，即。当时，则由属性归纳法原理可知结论成立。解法二用高阶导数的莱布尼兹公式。令，则。令，则。。习3.61.是某商品的需求价格函数为，其中和是正的常数。证明需求价格弹性。解，则。2.假设某产品的成本关于产量的弹性定义为。证明，其中分别表示边际成本和平均成本。证。3.将旅店的租房价格

7、从每天75元提高到每天80元，会使出租量从每天100套降到每天90套。（1）求房租为每天75元时的需求价格弹性。（2）求房租为每天75元和80元时旅店的总收益。（3）问该旅店是否应该提价。解（1）由弹性的定义（P81）。因此，这里，。则。（2）收益，，。（3）不应该提价。习题三1.设在的某去心邻域内满足（1）（2）存在常数，使得（3）证明若在可导，则。并求极限证因在可导，则在该点必可微。由可微的定义可知，，两式相减可得，只需证明时即可。因则都有界。显然，于是。故。1.设，在点可导，且。若函数在的某一邻域内满

8、足。证明：在点可导并且。证此时必有。因此如果，则。当时，由夹逼准则可得到在点右导数存在并且如果，则。当时，由夹逼准则可得到在点左导数存在并且。因此在点可导并且。3.设的定义域为，且它们在点可导，证明在点可导的充要条件是。证由于在点可导，则它们在点必连续。必要性。若在点可导，则函数在该点必连续，从而左连续且右连续即。此时在点的左右导数都存在且相等。，。因此。充分性。若。由上面的推导反推回去可知可导。4.设，求。解是