微积分第4章习题解答(上).doc

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1、第四章习题参考解答习题4-11、下列各方程中,哪些是微分方程,哪些不是微分方程?若是微分方程，请指出其阶数（1）是一阶微分方程；（2）不是微分方程；（3）是一阶微分方程；（4）是二阶微分方程；（5）是一阶微分方程；（6）是一阶微分方程。2、在下列各题所给的函数中，检验其中哪个函数是方程的解?是通解还是特解?（1）（B）是特解（C）是通解；（2）(A)是特解（B）是通解；（3）（A）是通解（B）是特解3、求下列各微分方程在指定条件下的特解（1）解：将代入上式，得故满足初始条件的特解为：（2）解：将代入上式，得故满足初始条件的特

2、解为：4、写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程（1）解：设曲线为由条件得（2）解：设曲线为，则曲线上点处的法线斜率为由条件知PQ中点的横坐标为0，所以Q点的坐标为，从而有即：注：习题4-21、求下列微分方程的通解（1）解：原方程变形为：积分：得：所求的通解为：（2）解：原方程变形为：积分：得：所求的通解为：（3）解：原方程变形为：积分：得：，所求的通解为：注：；（4）解：原方程变形为：积分：得：所求的通解为：2、求下列微分方程满足给定初值条件的解（1），解：原方程变形为：积分：得：将代入上式，得所求的特解为：（2），解：

3、原方程变形为：积分：得：，即将代入上式，得所求的特解为：（3），解：原方程变形为：积分：得：将代入上式，得所求的特解为：（4），解：原方程变形为：积分：得：即：将代入上式，得所求的特解为（5），解：原方程变形为：积分：得：即：将代入上式，得所求的特解为：3、一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点平分，求该曲线的方程解：设所求曲线方程为：由题意得：且满足：将方程变形为：积分：得：即：将代入上式得故所求曲线为：注：4、设将质量为m的物体在空气中以速度竖直上抛，空气阻力为，这里为常数，为运动速度，求速度与时间

4、的函数关系解：设所求速度与时间的函数关系为：由牛顿第二定律知即：且满足：分离变量得：积分：即：将代入上式得所求的函数关系为：5、求下列微分方程的通解（1）解：原方程变形为：即：，令代入上式得：即：积分：得：所求的通解为：（2）解：原方程变形为：令，代入上式得：即：积分得：所求的通解为：（3）解：原方程变形为：令，代入上式得：即：积分得：即：所求的通解为：（4）解：原方程变形为：令，代入上式得：即：积分得：所求的通解为：6、求下列微分方程满足所给初值条件的特解（1），解：令，代入原方程得，即：积分得：即：又由初始条件得故满足初

5、始条件的特解为：（2），解：原方程变形为：令，代入上式得：即：积分得：即：，也即又由初始条件，得：故满足初始条件的特解为：（3），解：原方程变形为：令，代入上式得：即：积分得：即：，也即又由初始条件，得：又因为，即而仍是原方程的解故满足初始条件的特解为：或（4），解：原方程变形为：令，代入上式得：即：积分得：即：又由初始条件，得：故满足初始条件的特解为：7、求下列微分方程的通解（1）解法1：由分离变量：积分：即：设原方程具有形式为的解代入原方程得：即所求的通解为：解法2：即所求的通解为：（２）解法1：由分离变量：积分：，得设

6、原方程具有形式为的解代入原方程得即：所求的通解为：解法2：即：所求的通解为：（３）解法1：由分离变量：积分：，得设原方程具有形式为的解代入原方程得：即：所求的通解为：解法2：即：所求的通解为：（４）解法1：由分离变量：积分：，得设原方程具有形式为的解则代入原方程得：所求的通解为：解法2：即：所求的通解为：８、求下列微分方程满足所给初值条件的特解（１）解法1：由分离变量：积分：，得设原方程具有形式为的解则代入原方程得：，通解为：又由初始条件，得故满足初始条件的特解为：解法2：即：所以其通解为：又由初始条件，得故满足初始条件的特

7、解为：（２）解法1：由分离变量：积分：，设原方程具有形式为的解代入原方程得：通解为：又由初始条件，得故满足初始条件的特解为：解法2：即：所以其通解为：又由初始条件，得故满足初始条件的特解为：（３）解法1：由分离变量：积分：，设原方程具有形式为的解代入原方程得：通解为：又由初始条件，得故满足初始条件的特解为：解法2：即：所以其通解为：又由初始条件，得故满足初始条件的特解为：（４）解：即：所以其通解为：又由初始条件，得故满足初始条件的特解为：９、一曲线的切线在纵轴上的截距总等于切点的横坐标，求此平面曲线的方程解：而即：所以其通解

8、为：习题4-31、求下列微分方程的通解（1）解：变形得即（2）解：令，原方程为：即：积分：所以（3）解：令，则原方程为：，即，即：所求为：（4）解：令，则原方程为：此为一阶线性微分方程，故即所以原方程的通解为：（5）解：令，则原方程为：即：此为一阶线性微分方程，故，即所以原方程的通解