三角函数和差化积与积化和差公式.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯和差化积和积化和差公式1、正弦、余弦的和差化积sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin2【注意右式前的负号】2证明过程sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，将以上两式的左右两边分别相加，

2、得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，设α+β=θ，α-β=φ那么，22把α，β的值代入，即得sinθ+sinφ=2cossin222、正切和差化积tanα±tanβ=sin()coscoscotα±cotβ=sin()sinsintanα+cotβ=cos(sin)costanα-cotβ=cos()sincos证明：左边=tanα±tanβ=sinsincoscos=sincoscossincoscos1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=sin()=右边coscos在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次3、积化和差公式sincoscos（注意：此时差的余弦在和的余弦前面）sin2或写作：sincoscos负号）sin2（注意：此时公式前有coscoscoscos2sinsinsincos2cossinsinsin2证明积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：12sinsins

4、insin2coscossinsincoscossinsin12coscos2其他的3个式子也是相同的证明方法。结果除以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=1/2[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]=2

5、sinα·sinβ2。故最后需要除以2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3