2010年高考数学双曲线标准方程典型例题.doc

《2010年高考数学双曲线标准方程典型例题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、（一）双曲线的标准方程典型例题例1　讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．分析：由于，，则的取值范围为，，，分别进行讨论．解：（1）当时，，，所给方程表示椭圆，此时，，，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当时，，，所给方程表示双曲线，此时，，，，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3），，时，所给方程没有轨迹．例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点，且焦点在坐标轴上．（2），经过点（－5，2），焦点在轴上．（3）与双曲线有相同焦点，且经过点解：（1）设双曲线方程为，∵、两点在双曲线上，∴解

2、得∴所求双曲线方程为说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的（2）∵焦点在轴上，，∴设所求双曲线方程为：（其中）∵双曲线经过点（－5，2），∴，∴或（舍去），∴所求双曲线方程是（3）设所求双曲线方程为：，∵双曲线过点，∴∴或（舍），∴所求双曲线方程为说明：与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后，便有了以上巧妙的设法．例3已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求．解：∵点在双曲线的左支上，∴，∴，∴∵，∴说明：“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键，若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？例4已知、

3、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积．解：∵为双曲线上的一个点且、为焦点．∴,∵，∴在中，∵，∴，∴∴例5　在中，，且，求点的轨迹．解：以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，．设，由及正弦定理可得：∵，∴点在以、为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：∴，，∴，，∴，∴所求双曲线方程为∵，∴，∴点的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分例6在周长为48的直角三角形中，，，求以、为焦点，且过点的双曲线方程．分析：由双曲线定义可知，，所以利用条件确定的边长是关键．解：∵的周长为48，且，∴设，，则．由，得．∴，，以所在

4、直线为轴，以∴的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为．由，得，，．由，得，．由，得所求双曲线方程为．例7　求下列动圆圆心的轨迹方程：（1）与⊙内切，且过点（2）与⊙和⊙都外切．（3）与⊙外切，且与⊙内切．分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙、⊙的半径为、且，则当它们外切时，；当它们内切时，．解：设动圆的半径为（1）∵⊙与⊙内切，点在⊙外∴，，，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且有：，，，∴双曲线方程为（2）∵⊙与⊙、⊙都外切，∴，，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲

5、线的上支，且有：，，∴所求的双曲线的方程为：（3）∵⊙与⊙外切，且与⊙内切，∴，，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且有：，，∴所求双曲线方程为：例8　是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值．解：在双曲线中，，，故．由是双曲线上一点，得．∴或．又，得．说明：本题容易忽视这一条件，而得出错误的结论或．