多元函数微分学复习课ppt课件.ppt

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1、多元函数微分学复习课一、内容提要上页下页结束返回首页二、典型例题内容提要偏导数注:(1)(2)(3)偏导数的求法求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看作常数,然后按一元函数求导法求导即可.内容提要全微分函数zf(x,y)在点(x,y)可微分:计算公式:重要关系函数可导函数可微偏导数连续函数连续内容提要复合函数求导公式设zf(u1,…,un)可微ui(x,y,…)偏导数存在则有全微分形式不变性设zf(u,v)具有连续偏导数,则有全微分无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数,它

2、的全微分形式是一样的.内容提要隐函数求导公式F(x,y)=0确定y=f(x)的导数公式F(x,y,z)=0确定z=f(x,y)的偏导数公式内容提要曲线的切向量光滑曲线xx(t),yy(t),zz(t)在tt0对应点处的切向量为曲面F(x,y,z)0与曲面G(x,y,z)0的交线的切向量为曲面的法向量曲面F(x,y,z)0在点M0(x0,y0,z0)处的法向量为曲面zf(x,y)在点M0(x0,y0,z0)处的法向量为内容提要极值点的必要条件具有偏导数的极值点必为驻点极值的充分条

3、件设f(xy)具有二阶连续偏导数,(x0y0)为f(xy)的驻点,令fxx(x0y0)Afxy(x0y0)Bfyy(x0y0)C则(1)ACB2>0时,f(x0y0)为极值:当A<0时为极大值,当A>0时为极小值(2)ACB2<0时,f(x0y0)不是极值(3)ACB20时,f(x0y0)可能为极值也可能不是极值内容提要可微函数最值的求法将函数在有界闭区域D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.如果函数的

4、最值一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么该驻点处的函数值就是函数在D上的最值.拉格朗日乘数法函数uf(x,y,z)在条件j(x,y,z)0下的可能极值点为拉格朗日函数L(x,y,z,l)的驻点,其中例1求下列函数的定义域,并画出定义域的图形.解(1)典型例题例1求下列函数的定义域,并画出定义域的图形.典型例题解(2)解(1)例2求下列极限.(2)分析:例2证明极限不存在.当点(x,y)在直线y=kx上时,有注:如果当P以两种不同方式趋于P0时,函数趋于不同的值,则函数的极限不存在.点(

5、x,y)沿不同的直线y=kx趋于点(0,0)时,函数都趋于0.若点(x,y)在曲线y=kx3上,则证明当点(x,y)在曲线y=kx3上时,有点(x,y)沿不同的曲线y=kx3趋于点(0,0)时,函数趋于不同的值.注:如果当P以两种不同方式趋于P0时,函数趋于不同的值,则函数的极限不存在.因此,极限不存在.例2证明极限不存在.知识点解1例2求解2证例3验证函数满足拉普拉斯(Laplace)方程知识点知识点解例3求函数的偏导数.令则知识点解例4设zf(2x3y,x2y)g(xy2),求记解例4设zf

6、(2x3y,x2y)g(xy2),求记解例4设zf(2x3y,x2y)g(xy2),求例5求解设则知识点解设则注:本题利用ez=xyz代入后,运算简便得多.例5求解1设则例5求和知识点方程两边求微分得解2例5求和知识点例6求曲线x2y2z26,xyz0在点(2,1,1)处的切线及法平面方程.解所求切线方程为法平面方程为6(y1)6(z1)0,即yz0.令则切向量知识点解代入椭球面方程,求得切平面方程为例7求椭球面x22y2z21上平行于平面xy2z0的切平

7、面方程.设所求切点为(a,b,c),法向量已知平面法向量由题设得即代入b的值,得知识点令得驻点在点(1,1)处,不是极值；在点(1,-1)处,不是极值；在点处,且所以为极小值.例8求函数f(xy)xlnx(1x)y2的极值解知识点解得驻点例8求在区域D上的最值,其中解方程组在D的边界上,z(y)的驻点为f在D上的最小值为最大值为z(y)的可能最值为知识点例9求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.设长方体的三棱长为x,y,z,则2xy2yz2xz=a2得唯一驻点解1此处V取最大值令知识点

8、例9求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.设长方体的三棱长为x,y,z,则问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)=a2下的最大值.作拉格朗日函数解方程组F(x,y,z)xyzl(2xy2yz2xza2),因为由问题本身可知最大值一定存在所以最大值就在这个可能的极值点处取得此时解2由解例10在第一卦限内作椭球面的切平面,使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小.求这切平面的切点,并求此最小体积.设切点坐标为