函数的单调性与求函数的最值.docx

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1、.函数的单调性与最值复习：按照列表、描点、连线等步骤画出函数yx2的图像.yyx2图1xx在区间[0，+x的增大,图像在y轴的右侧部分是上升的，当)上取值时，随着相应的y值也随着增大，如果取x1,x2∈[0，+)，得到y1f(x1),yf(x2),那么当x1

2、y1y2。这时就说函数y=f(x)x2在[0,+)上是减函数.1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2定义当x1212)，当x1212)，那么就＜x时，都有f(x)＜f(x＜x时，都有f(x)＞f(x那么就说函数f(x)在区间D上是增函数说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述在单调区间上增函数的图象是上升的..在单调区间上减函数的图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么称

3、函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。（4）若函数f(x)在其定义内的两个区间A、B上都是单调增（减）函数，一般不能认简单地1认为f(x)在区间AUB上是增（减）函数.例如f(x)在区间(,0)上是减函数，在区x间(0,)上也是减函数，但不能说它在定义域(,0)U(0,)上是减函数.（3）用定义法判断函数的单调性：①定义域取值；任取x1

4、，x2∈D，且x10,又由x10,于是f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)∴f(x)1)上是减函数.在

5、(0,+x..练习：讨论函数f(x)1x2在[1,0]的单调性.在[1,0]上任取x1,x2且x1

6、2,2)内的单调性.解：∵f(x)x22ax3(x-a)23a2，对称轴xa∴若a2,则f(x)x22ax3在(-2,2)内是增函数；若则2232a2f(x)xax在(-2,a),[a,2]内是增函数内是减函数在若a2,则f(x)x2ax3在(-2,2)内是减函数.23.判断函数的单调性的常见结论①设任意x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2，那么fx2fx10?f(x)在[a，b]上是增函数；fx2fx10?f(x)在[a，b]上是减函数．②设任意x1，x2∈[a，b]，那么fx2fx10?f(x)在[a，b]上

7、是增函数；x2x1fx2fx10?f(x)在[a，b]上是减函数．x2x1..③(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?f(x)在[a，b]上是减函数．【梳理·总结】（1）函数yf(x)与yf(x)的单调性相反；（2）当函数yf(x)恒为正或恒有负时，y1f(x)的单调性相反；与函数yf(x)（3）函数yf(x)与函数yf(x)C（C为常数）的单调性相同；（4）当C0（C为常数）时，yf(x)与yCf(x)的单调性相同；当C0（C

8、为常数）时，yf(x)与yCf(x)的单调性相反；（5）函数f(x)、g(x)都是增（减）函数，则f(x)g(x)仍是增（减）函数；（6）若f(x)0,g(x)0且f(x)与g(x)都是增（减）函数，则f(x)g(x)也是增（减）函数；若f(x)0,g(x)0且f(x)与g(x)都是增（减）函数，则f(x)g(x)也是减（增）函数；（7）设f(x)0，若f(x)在定义域上