函数的单调性与求函数的最值

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1、函数的单调性与最值复习：按照列表、描点、连线等步骤画出函数的图像.图像在轴的右侧部分是上升的，当在区间[0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，如果取∈[0，+)，得到,,那么当<时，有<.这时就说函数=在[0,+)上是增函数.图像在轴的左侧部分是下降的，当在区间[0，+)上取值时，随着的增大,相应的值反而随着减小，如果取∈[0，+)，得到,,那么当<时，有。这时就说函数=在[0,+)上是减函数.1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2

2、)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述在单调区间上增函数的图象是上升的在单调区间上减函数的图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。（4）若函数在其定义内的两个区间、上都是单调增（减）函数，一般不能认简单地认为在区间上是增（减）函数.例如在区间上是

3、减函数，在区间上也是减函数，但不能说它在定义域上是减函数.（3）用定义法判断函数的单调性：①定义域取值；任取x1，x2∈D，且x10,又由<,得－>0,于是－>0,即>∴在(0,+)上是减函数.练习：讨论函数在[-1,0]的单调性.在[-1,0]上任取x1,x2且x1

4、1

5、x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．【梳理·总结】（1）函数与的单调性相反；（2）当函数恒为正或恒有负时，与函数的单调性相反；（3）函数与函数（为常数）的单调性相同；（4）当（为常数）时，与的单调性相同；当（为常数）时，与的单调性相反；（5）函数、都是增（减）函数，则仍是增（减）函数；（6）若且与都是增（减）函数，则也是增（减）函数；若且与都是增（减）函数，则也是减（增）函数；（7）设，若在定义域上是增函数，则、、都是增函数.例：求函数y＝的单调区间.4.关于分段函数的单调性(1)若函数,在区间上是增函数,在区间上是增函数,则在区间上不一定是增函数,若使得在

6、区间上一定是增函数,需补充条件:(2)若函数,在区间上是减函数,在区间上是减函数,则在区间上不一定是减函数,若使得在区间上一定是减函数,需补充条件:例：已知函数若对任意x1，x2，都有成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(0,]B．(0,1)C．[,1)D．(0,3)5．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件.①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值，记作M为最小值，记作例：f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为_________

7、_；f(x)max＝________.6.利用函数的单调性求最值例题：已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明:令,则;再令,则应有,从而在上任取,则.又时,,从而,即,由定义可知函数在上的减函数.(2)函数是上的减函数,在区间上也是减函数