控制系统的时域数学模型课件.ppt

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1、数学模型是描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式。数学模型可以有多种形式。在经典理论中，常用的数学模型是微（差）分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性等；在现代控制理论中，采用的是状态空间表达式。结构图、信号流图、状态图是数学模型的图形表达形式。数学模型表示方法建立控制系统的数学模型方法有分析法（机理建模法）和实验法（系统辨识）。分析法是根据系统各部分的运动机理进行分析，列写相应的运动方程。实验法是给系统施加测试信号，记录其输出响应。2-1控制系统的时域数学模型1、建立步骤（1）确定输入和输出量（2）依据定律列写原始方程（3）消去中间变量，写出微分方程（4）将微分方程标

2、准化。二、线性元件的微分方程②①[解]：据基尔霍夫电路定理：输入输出LRCi例题：写出RLC串联电路的微分方程。由②：，代入①得：例题：列写电枢控制直流电动机的微分方程取电枢电压ua和等效到电机转轴上的负载转矩Mc为输入量，输出是转速w电枢回路方程为控制系统的微分方程SM负载若以角速度为输出量、电枢电压为输入量，消去中间变量，直流电动机的微分方程为电磁转矩方程电动机轴上转矩平衡方程当电枢回路的电感可以忽略不计若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计，则上式可进一步简化根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：mfF图1mF图2这也是一个二阶定常微分方程。X为输出量，F为输入

3、量。在国际单位制中，m、f和k的单位分别为：例题：图为弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统，列写质量在输入量为外力F，输出量为位移x。阻尼器是一种产生粘性摩擦的装置，由活塞和充满油液的缸体组成。活塞和缸体之间的任何相对运动都将受到油液的阻滞。阻尼器用来吸收系统的能量并转变为热量而散失掉。[解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘滞阻尼系数，k为弹性系数。二、控制系统微分方程的建立⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件

4、进行线性化等。⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。1、步骤例题：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。负载-+-+功率放大器测速发电机[解]：⑴该系统的组成和原理；⑵该系统的输出量是，输入量是，扰动量是测速-运放Ⅰ运放Ⅱ功放电动机⑶速度控制系统方块图：系统输出系统输入参考量控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机运放1运放2功放直流电动机减速器（齿轮系）测速发电机消去中间变量控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为三、线性定常微分方程的求解直接

5、求解法：通解+特解自由解+强迫解（零输入响应+零状态响应）拉氏变换求解法：2.求出输出量拉氏变换函数的表达式；3.对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。1.考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；R1C1i1(t)ur(t)uc(t)例题：已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求uc(t)解：零初始条件下取拉氏变换：2.2.12.2.32.2.2三、非线性微分方程的线性化[非线性系统]：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用

6、中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。AByx0设具有连续变化的非线性函数y=f(x)如图所示若取某一平衡状态为工作点，如下图中的A(x0,y0)。A点附近有点为A(x0+Dx,y0+Dy)，当Dx很小时，AB段可近似看做线性的。AByx0设f(x)在点连续可微，则将函数在该点展开为泰勒级数，得：若很小，则，即式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。对于具有两个自变量的非线性方程，

7、也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为：，工作点为。则可近似为：式中：，。为与工作点有关的常数。2-2控制系统的复数域数学模型引入新课：一、传递函数的定义零初始条件下，输出量拉氏变换输入量拉氏变换r(t)—输入量，c(t)—输出量R(s)=L[r(t)],C(s)=L[c(t)]（1）t<0,输入量及其各阶导数均为0零初始条件（2）t<0,输出量及其各阶导数均为0(1)为何要规定零初始条件？(2)规定初始条件为零是否可行？思考：设线性