大学数学教案第8章.doc

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1、第八章定积分的应用第一节定积分的微元法教学目标：掌握微元法教学重点：微元法教学难点：微元法教学过程：1、什么是微元法为了说明积分的微元法，我们回顾一下第七章中讨论过的曲边梯形面积问题。设f(x)在区间[a,b]上连续，且，则以曲线y=f(x)为曲边，底为[a,b]的曲边梯形的面积把这个面积A表示为定积分的步骤是：（1）分割在区间内插入个分点：将分成了n个小区间，相应的面积（）（2）近似代替（3）求和（4）取极限确定部分面积的近似值是把曲边梯形面积A表示成定积分的关键。在实用时，这一步骤可以简化，具体如下：（1）在[a,b]上任取一小区间，表示该小区间上所对

2、应小曲边梯形的面积。（2）取左端点为，以x处的函数值f(x)为高，底为f(x)，则矩形面积定义：为面积微元（3）于是2、注意以下几点：（1）所求整体量（即面积）与自变量的变化区间有关。（2）所求整体量对于区间[a,b]具有可加性，就是说，如果把区间分成若干部分区间，则所求量相应地分成若干部分量（即而所求量等于所有部分量之和，即（3）当与的差是的高阶无穷小时，才能用近似代替部分量，这时和式的极限，即的极限值就是A的精确值。在实际问题中，一般都满足这个要求，因此通常对此不做验证。这种方法称为微元法第二节平面图形的面积教学目标：利用微元法求解平面图形面积的方法教

3、学重点：微元法求平面图形面积教学难点：公式的选取教学过程：1、在直角坐标系中的计算方法平面图形分类如下۩（1）由连续曲线y=f(x)（），x轴及二直线x=a、x=b所围成的曲边梯形面积A的计算。解法一：定积分的几何意义………………（1）解法二：微元法①任取②面积微元dA=f(x)dx，它表示高为f(x),底边长为dx的一个矩形面积。③①任取②面积微元dA=f(y)dy，它表示高为,底边长为dy的一个矩形面积。③…………右—左……………………………………（3）۩（2）设在区间上，连续曲线y=f(x)位于连续曲线y=g(x)上方，由这两条曲线及直线x=a、x=

4、b所围成的曲边梯形面积A的计算。解法一：定积分的几何意义—解法二：微元法①任取②面积微元，表示以f(x)-g(x)为高，dx为底的矩形③……上—下……………………………………（2）۩（3）设在区间上，连续曲线位于连续曲线右方，由这两条曲线及直线所围成的曲边梯形面积A的计算。解法一：微元法۩(4)如果曲边梯形的曲边由参数方程给出，且当从a取到b时，t从取到，解法：代数变换（无需几何微元法）……………………定积分换元法…………………………（4）总结：由此可见，微元法可以解决平面图形面积求解问题。例1：计算由两条抛物线所围成的图形的面积。例2：计算由与直线y=x

5、及y=2x所围成图形的面积。例3：计算由抛物线与直线所围成图形的面积。例4：计算椭圆的面积A例5：求抛物线与直线所围成的图形的面积。解一:先画已知方程的图形,求出抛物线与直线的交点A(8,4),B(2,－2)。在这个例题中，将轴看作曲边梯形的底，可使计算简单些，所求的面积是直线和抛物线分别与直线所围成的图形的面积之差。即解二则当然还是可以将轴看作曲边梯形的底，则所围成的图形的面积可分为两部分：（平方单位）例6:求曲线、与直线、所围成的图形的面积，如图6-18阴影部分面积的总和。解由于图形对称于y轴，所以所求面积S是第一象限内两小块图形面积的两倍。两曲线交点

6、的横标为x=，于是=(平方单位)1、在极坐标系中的计算方法某些平面图形的面积，用极坐标来计算比较简便。图形：①任取②求面积微元：相应的窄曲边扇形面积可以用处的极径作为半径，作为圆心角的扇形面积近似代替，即面积微元为③积分：……………………（5）（1）定义：　在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。图形轨迹方程例：（2

7、）与直角坐标系的转换（3）极坐标系下面积微元法定义：曲边扇形由，所围成平面图形。设在上连续，例7：计算圆介于x轴与射线间的部分图形的面积。解：例8：计算圆与心形线所围成公共面积。解：所求面积为极轴上半部分2倍由与联立得=例9：求三叶玫瑰线所围成部分的面积。解：如图①任取②体积微元，表示：以处为底圆半径，dx为高的圆柱体体积作为该小段旋转体体积的近似值，即体积微元。③积分：……（1）一瓣对应从0到所以第二节体积教学目标：微元法体积的求解教学重点：体积公式的掌握教学难点：体积公式的推导教学过程：………………（2）1、旋转体的体积（1）定义：一个平面图形绕这个平

8、面内的一条直线旋转一周而成的立体教做旋转体，这条直线教旋转轴。（母