大学数学教案第9章

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1、第九章行列式与线性方程组教学目标：1、掌握二阶行列式与二元线性方程组的定义及性质2、掌握行列式的性质及算法3、掌握线性方程组的行列式解法教学重点：1、行列式的性质及展开2、线性方程组的行列式解法教学难点：线性方程组的行列式解法教学过程：第一节二阶行列式与二元线性方程组1、引入：九宫之义，法以灵龟；二四为肩，六八为足；左七右三，戴九履一，五居中央四四图（34）考察两个二元线性方程所组成的方程组………………（1）消去y得……（2）同理消去x可得（a1b2—a2b1）y=a1c2--a2c1…………（3）如果代数式（a1b2—a

2、2b1），就可以用它去除（2）（3）的两边得……（4）为了使（4）的结果记忆方便，我们引入二阶行列式的概念。2、定义：…………（5）其中a1,a2,b1,b2称为行列式的元素，横排称为行列式的行，竖排称为行列式的列。性质：（1）（行列式的第i行改为第i列，第i列改为第i行，行列式的值不变。）（2）（二阶行列式两列（或两行）对调，则行列式的值要改变符号）方程组（1）的解（4）用行列式表示为方程组（1）的系数行列式分子行列式，所以方程组的解可表示为12注（1）若，则方程组（1）有唯一一组解。（2）若=0，x与y至少有一个不为

3、零，则方程组（1）无解。（3）若=x=y=0，则方程组（1）有无限多组解。3、例题：例1解方程组.例2解方程组.例3解方程组4、作业：5、课后小结：第二节三阶行列式概念及其性质121、三阶行列式用二阶行列式可以解二元线性方程组，一般地，可以用n阶行列式解n元线性方程组。下面我们只对用三阶行列式解三元线性方程组加以讨论，因此我们先给出三阶行列式的概念。定义：三阶行列式的计算可按图得出：例题：计算三阶行列式的方法称为对角线法则.例1计算2、三阶行列式的性质性质1：把行列式的第i行改为第i列，第i列改为第i行，行列式的值不变，即

4、性质2：对调行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号,但绝对值不变.如(可用对角线法证明)性质3:有两行(或两列)相同的行列式的值必为零.证明:性质4:把行列式的某行(或某列)所有元素同乘以某数k的结果等于以数k乘以这个行列式,如=k推论1:12一个行列式中某一行(或某一列)各元素的公因子可以提到行列式记号的外边推论2:如果一个行列式中有一行(或一列)的元素全为零,则这个行列式为零性质5:如果行列式的两行(或两列)的对应元素成比例,则这个行列式为零.性质6:如果行列式的一行(或一列)的元素都是两项式,那么这个行列式等于两

5、个行列式的和。证明：性质7：把行列式的某一行（或某一列）所有元素同乘以一数后，加于另一行（或另一列）的对应元素，则行列式的值不变。3、为了叙述、书写方便，我们约定：(1)记号“”表示第i行的公因子l提出来;(2)记号“(i,j)”表示将第i行与第j互换(3)记号“i+lj”表示将第j行的l倍加到第i行上去.注：由于性质2—性质7对行列式的列也成立，我们也可以用上面的记号表达对行列式的列变换。为了区别起见，当进行行变换时，将记号写在等号上方，当进行列变换时，将记号写在等号的下方。若在等号上（下）方同时出现几个记号时，则按顺序

6、由上至下进行。4、例题：例2计算例3计算.例4用行列式性质证明.例5利用行列式性质证明12=.5、课后小结：第三节行列式的按行列展开导入：三阶行列式我们可以用对角线法则进行计算。要想简化行列式的计算，可以先用行列式性质将行列式变形，再按行或按列展开计算。为了学习这种方法，我们先介绍子行列式与代数余子式的概念。1、子行列式把行列式中某一元素所在的行与列划去后，留下来的元素按原来的位置关系组成的行列式，称为这个行列式对应与该元素的子行列式。如：行列式D对应于元素b3的子行列式为2、代数余子式设行列式中某一元素所在的行数为i，列

7、数为j。将对应于该元素的子行列式乘上（-1）i+j所得的式子称为对应于该元素的代数余子式某元素的代数余子式，用这个元素的大写字母并附以相同的下标表示。如行列式D对应于元素b3的代数余子式为3、定理定理1：行列式等于它的任意一列（或一行）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和。设那么证明：4、例题12例1把行列式按第三行展开，并求值.按一行（或一列）展开行列式来求值时，如果先根据行列式的性质把某一行（或某一列）的两个元素变为零，再展开求值就简便得多.例2计算.5、定理2行列式某一列（或某一行）各元素与另一列（或另一行）对

8、应元素的代数余子式的乘积之和恒等于零。设，那么证明：第四节二元线性方程组教学过程：导入：我们已经介绍了三阶行列式的性质，下面介绍如何利用三阶行列式解三元线性方程组一、下面我们讨论如何用三阶行列式来解三元线性方程组1、如果方程组的系数行列式，则方程组有唯一一组解，，…………（1）假设此此方程组的系数行列式