大学数学教案第14章.pdf

《大学数学教案第14章.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第十四章级数例1判定级数11111无穷级数是大学数学的重要组成部分，LLn(n1)1g22g33g4n(n1)它是由于进行实际计算的需要，随着极限概n1念的完善而同时形成的。无穷级数是表示函的敛散性.数、研究函数性质及进行数值计算的重要工具之一。本章首先讨论常数项级数，然后讨论幂级数和富里叶级数。第一节无穷级数的概念与性质一、教学目标例2判定级数1、理解无穷级数收敛和发散的概念。1112、理解无穷级数的基本性质；ln(1)ln(11)ln(1)Lln(1)Ln2n3、熟悉级数收

2、敛的必要条件。n1二、教学重点的敛散性.1、无穷级数收敛和发散的概念；2、无穷级数的基本性质。三、教学内容1、无穷级数的概念(1)设已给数列u,u,u,L,u,L，则123n式子例3讨论等比级数（也称几何级数）uuuLuL123narn1aarar2Larn1Ln1或简记为u，称为无穷级数，其中的敛散性.nn1第n项u叫做级数的通项或一般项。n（2）各项都是常数的级数称为常数项级数。（3）定义当n时，若级数u的部nn1S例4试利用无穷级数说明循环小数分和所成的数列有极

3、限S，即n10.3.limSS，则称级数收敛，并称S为级数3nn的和，记为SuuuuLuLn123nn1S，这时也称级数收敛于和S。若没有n极限，则称级数发散。2、无穷级数的基本性质例5判定级数n123由上述关于数项级数敛散性的定义可L的敛散性.n1234知，级数的收敛问题，实际上就是其部分和n1数列的收敛问题，因此我们能应用数列极限的有关性质来推导级数的一系列重要性质.性质1若级数u收敛，其和为S，nn1则级数ku叶收敛，其和为kS.nn1这个性质表明：将级

4、数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变.性质2设级数u和v分别收敛nnn1n1于和，则级数(uv)也收敛，且nnn1例6证明调和级数1111LL发散.有(uv)uv.23nnnnnn1n1n1性质3加上或去掉级数的有限项，不影响级数的敛散性，只是当级数收敛时，加上有限项或去掉有限项，一般会改变级数的和.性质4若级数u收敛于和S，则对nn1其各项间任意加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变.性质5（级数收敛的必要条件）若级四、布置作业数u收敛，

5、则limu0.nnnn1§2正项级数一、教学目标（2）如果级数v发散，则级数n1、熟练掌握几何级数和p—级数；n12、熟练掌握正项级数的比较判别法和比值判别法。u也发散.n二、教学重点n11、正项级数的比较判别法；2、正项级数的比值判别法。三、教学难点正项级数的比较判别法。四、教学内容1、正项级数收敛的充分必要条件正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{S}有上界。n例2证明级数例1证明当p1时，p级数11111LL是发3572n111111LL散级数.np2p

6、3pnpn1收敛。例3证明p级数2、正项级数收敛性的判别法11111LL当（1）比较判别法np2p3pnpn1p1时发散.设u和v都是正项级数，且对nnn1n1一切n，有uv，则nn（1）如果级数v收敛，则级数nn1u也收敛；nn1例4证明级数说明：比较判别法的极限形式1111LL2a22a23a2na设u和v是两个正项级数，如(a0)收敛.nnn1n1u果limnl，则nvn（1）当0l时级数u和nn1v有相同的敛散

7、性；nn1例5判定级数sin的敛散性.n2n1（2）当l0且级数v收敛时，级nn1数u也收敛；nn1（3）当l且级数v发散时，nn1级数u也发散.nn11例6判定级数是发散的.n(n1)n11例7判定级数sin的敛散性.2nn1（2）比值判别法（3）根值判别法设u为正项级数，其中如果正项级数u通项的n次方根nnn1n1的极限存在，即u0(n1,2,3,K)，如果其后项与前项之nlimnuq存在，则nnu比的极限存在，即limn1q存在，则n

8、u（1）当q1时，级数收敛；n（1）当q1时，级数收敛；（2）当q1时，级数发散；（2）当q1时，级数发散；（3）当q1时，级数可能收敛，也可能发散.（3）当q1时，级数可能收敛，也可能发散.n例8判定级数例10判定级数()n的敛散性.2n1n111111LL的敛n!2!3!n