大学数学教案第13章.pdf

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1、第十三章曲线积分（2）对弧长曲线积分的定义上一章我们所讲的重积分，实际上是一首先引入光滑曲线的概念，实际上光滑元函数定积分的一个推广。将积分范围由数曲线上的每一点都存在切线，并且当点在曲轴上的一个区间，推广到平面或空间上的一线上连续移动时，切线在曲线上也连续移个区域。本章所讲的曲线积分是积分范围为动。光滑曲线是平滑的曲线，没有尖点。平面上的一段曲线上的积分，它也是一元函若曲线C可以分成有限的几段，而每一数定积分的一个推广，因此基本思想与定积段都是光滑曲线，则称曲线C是逐段光滑曲分一致，它的计算也

2、是化为定积分来做。线。平面曲线上的积分有两类：一类是对弧定义函数f(x,y)在曲线C上，对弧长的曲线积分；另一类是对坐标的曲线积分。长的曲线积分，或称为第一类曲线积分，记第一节对弧长的曲线积分为f(x,y)ds.即C一、教学目标1、理解对弧长的曲线积分的概念；n2、了解对弧长曲线积分的性质；f(x,y)dslimf(,)s.kkkC03、掌握对弧长曲线积分的计算方法；k14、体会数学的应用价值。①曲线C可以是闭合的，即C的起点二、教学重点和终点重合。此时，曲线积分记作1、对弧

3、长的曲线积分的概念；f(x,y)ds.2、对弧长的曲线积分的计算方法。C三、教学难点②可以证明，当f(x,y)在光滑曲线（或对弧长的曲线积分的概念。逐段光滑曲线）C上连续时，对弧长的曲线四、教学内容f(x,y)ds积分一定存在。C1、对弧长的曲线积分的概念与性质（3）对弧长曲线积分的简单性质（1）求物质曲线的质量由对弧长曲线积分的定义，容易得出它具有以下性质：（i）[f(x,y)g(x,y)]dsf(x,y)dsg(x,y)dsCCC.kf(x,y)dskf(x,y)ds.

4、(k（ii）CCnMlim(x,y)s为常数）k0k1（2）设平面曲线C由方程（iii）若几分路径C由m段曲线yy(x)(axb)给出，C,C,L,C组成，记作12my(x)在[a,b]上连续，f(x,y)在C上CCCLC，则12m连续，则有f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)dsLf(x,y)dsf(x,yb)dsf[x,y(x)]1y2(x)dx.CC1C2CCma.（2）（iv）改变积分路径的方向，对弧长曲线积分值不变.若曲线

5、的两个端点是A与B，C表示积分路径从A到B，C表示（3）设平面曲线C由方程积分路径从B到A，则xx(y)(cyd)给出，f(x,y)dsf(x,y)dsCCx(y)在[c,d]上连续，f(x,y)在C上这是由于不论积分路径是C或C，积分和连续，则有式中都是f(x,y)在点(,)处的值与长kkbf(x,y)dsf[x(y),y)]1x2(y)dyCa度s乘积，而弧长s总是正值.kk.（3）2、对弧长曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算，是将其转化3、例题成为定

6、积分的计算.xyds例1计算，其中C是半径为（1）设平面曲线C由参数方程给出，C即a，圆心在原点的圆在第一象限部分.xx(t)C:(t)yy(t)其中x(t),y(t)在[,]上存在，连续，且不同时为零，即为光滑曲线.又f(x,y)在C上连续，则yds，其中C是抛物线例2计算Cf(x,y)dsf[x(t),y(t)]x2(t)y2(t)dtCyx2上点O(0,0)与B(1,1)之间一段..（1）公式（1）就是对弧长的曲线积分，当曲线由参数方程给出时

7、的计算公式.这里必须注意，公式右端定积分下限一定要小于上限.第二节对坐标的曲线积分例3计算yds，其中C是抛物线C一、教学目标y22x上点O(0,0)与B(1,2)一段.1、理解对坐标的曲线积分的概念；2、了解对坐标曲线积分的性质；3、掌握对坐标曲线积分的计算方法；4、体会数学的应用价值。二、教学重点1、对坐标的曲线积分的概念；2、对坐标的曲线积分的计算方法。三、教学难点对坐标的曲线积分的概念。四、教学内容1、对坐标曲线积分的概念与性质（1）变力沿平面曲线作功例4计算(x2y2)ds

8、，其中C是以C(0,0),(2,0),(0,1)为顶点的三角形.nnWlimP()xlimQ(,)yk,kkkkk00k1k1它们是一个二元函数与有向小弧段在五、布置作业x轴或y轴投影乘积之和的极限，这些极限就是二元函数对坐标的曲线积分.（2）对坐标曲线积分的定义（iii）PdxQdyPdxQdyPdxQdyCCC12.其中CCC.122.对坐标曲线积分的计算对坐标的曲线积分的计算，是将其转化成为定积分计算.（1）设曲线C由参数方程给出，x