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1、第七章定积分第一节定积分的概念教学目标：1、了解定积分的定义2、掌握曲边梯形的面积求解3、理解曲边梯形的几何意义教学重点：定积分的定义教学难点：定积分的定义教学过程：1、定积分问题举例例1：求曲边梯形的面积曲边梯形的应用基本步骤：（1）分割（2）近似代替（3）求和（2）取极限例2：求变速直线运动的路程当物体做匀速直线运动时，有公式路程=速度时间当变速直线运动时，且连续）如何求物体从时刻到时刻所经过的路程s？（1）分割（2）近似代替（3）求和（4）取极值2、定积分的定义定义：设函数f*(x)在区间[a,b]内任意插入n–
2、1个分点把区间[a,b]分成n个小区间每个小区间的长度依次为……在每个小区间上任取一点作乘积（i=1,2,3^^^^^）并作和此和称为f(x)在[a,b]上的积分和，也称为黎曼和。记如果不论对[a,b]采取怎样的分法，也不论在小区间上点怎样取法，当时，和式总有确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在[a,b]上的定积分，也称为黎曼积分记作：即=其中f(x)为被积函数，x为积分变量，f(x)dx为被积表达式，[a,b]称为积分区间，a称为积分下限，b成为积分上限。注意：如果定积分存在，则积分值只与被积函数与积分
3、区间有关，而与区间的分法和点的取法是无关的，而且与积分变量用什么字母来表示是无关的，所以有==则前面的实际问题可以表示为：定理1：（可积的必要条件）若函数f(x)在[a,b]上是可积的，则函数f(x)在[a,b]必定是有界的。定理2：（可积的充分条件）设函数f(x)在[a,b]上有定义，若函数f(x)满足下述的条件之一：（1）函数f(x)在[a,b]是连续的；（2）函数f(x)在[a,b]上只有有限个间断点，且有界（3）函数f(x)在[a,b]上是单调的则函数f(x)在[a,b]上是可积的。3、定积分的几何意义例1：计
4、算定积分例2：利用定积分的几何意义，求的值。第一节定积分的性质教学目标：掌握定积分的7个性质，并能应用性质解决一些相关问题。教学重点：定积分的性质教学难点：定积分性质的应用教学过程：性质1如果函数f(x)和g(x)在[a,b]上可积，则在[a,b]上也是可积的，且性质2如果函数f(x)在[a,b]上可积，k是任意常数，则kf(x)在[a,b]上可积，且性质3设函数f(x)在[a,c],[c,b]及[a,b]上都是可积的,则有其中c可以在[a,b]之内,也可以在[a,b]之外.性质4:如果在区间[a,b]上,,则f(x
5、)在[a,b]上可积,且可仿效定理1证明性质5:如果函数f(x)在[a,b]上可积,且对[a,b]内任意点x,有,则推论:如果函数f(x),g(x)在[a,b]上都可积,且对任意,有,则性质6:设函数f(x)在[a,b]上可积，且M,m分别是f(x)在[a,b]上的最大值与最小值，则性质7：（定积分中值定理）设函数f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点，使定积分中值定理的几何意义：在[a,b]上至少存在一点，使以[a,b]为底边，以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积与同一底边而高为的一个矩形面积相
6、等。例1：试估计定积分的值的取值范围。例2：不计算定积分的值，试比较与的大小。第三节微积分基本公式教学目标：1、理解变上限积分函数的定义2、掌握牛顿—莱布尼兹公式并能熟练应用教学重点：牛顿—莱布尼兹公式教学难点：理解变上限积分函数的定义教学过程：1、变速直线运动中路程函数与速度函数之间的联系设一物体做变速直线运动，路程函数为s(t)速度函数为v(t)2、变动上限的积分及其性质设函数f(x)在区间上连续，则f(x)在区间上可积，即函数的几何意义是上面图形的右侧直边可以移动的曲边梯形的面积。如图这个曲边梯形的面积随x的位置
7、的变动而改变，且当x给定后，面积也随之而定。积分上限函数=具有下面的重要性质。定理1：若函数f(x)在[a,b]上连续，则变动上限的积分=在[a,b]上可导，且定理2：（原函数存在定理）在区间[a,b]上连续的函数f(x)的原函数一定存在，且函数就是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。例1：求例2：求例3：求极限1、牛顿（Newton）—莱布尼兹（Leibniz）公式定理3：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的任意一个原函数，则也叫做微积分基本公式。它揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系
8、，从而把连续函数的定积分计算问题转化为求被积函数的一个原函数在区间[a,b]上的增量问题，这旧为定积分的计算提供了一个简便而有效的方法。例4：求例5：求由曲线y=sinx在x=0,之间及x轴所围成的图形的面积。例6：求例7：求例8：求第四节：定积分的换元法教学目标：教学重点：教学难点：教学过程：1、导入：计算定积分可以分为两步：（
