大学数学教案第15章.pdf

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1、第十五章微分方程例4验证函数y(ccx)ex(c,c§1微分方程的基本概念1212一、教学目标是任意常数）是微分方程y2yy0了解微分方程及微分方程的阶、解、通解、特解和初始条件等概念。的通解，并求满足初始条件二、教学重点y4,y2的特解.微分方程的解、通解、特解x0x0三、教学难点微分方程的通解教学内容1.引例例1一条曲线的切线斜率为3x2，且通过(1,2)点，求这条曲线的方程.例2质量为m的物体，只受重力的作用自由下落，试求物体下落的距离随时间变化的规律.2.微分方程的基本概念（1）微分方程一般地，我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程

2、.（2）微分方程的阶（3）微分方程的解、通解、特解、初始条件三、布置作业c例3函数y是微分方程x3xy3y0的解吗？如果是，它是通解还是特解？§2一阶微分方程例3求微分方程一、教学目标dy11、掌握可分离变量微分方程的解法；1dxxy2、掌握齐次方程的解法；3、掌握一阶线性微分方程的解法。的通解.二、教学重点1、可分离变量的微分方程；2、一阶线性微分方程的解法。三、教学内容一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)0.1.可分离变量的微分方程2.齐次方程dy1y2dyx2y2例1求微分方程的通例4求方程的通解.dxy(1x2)dxx2xy解.dyxydy例

3、5求方程的通例2求微分方程2xy的通解.dxx2xyy2dx解.（两种方法）dyy3.一阶线性微分方程例8求方程(lnx)y2的dxx通解.例6求一阶线性非齐次微分方程dy1sinxy的通解.dxxx例7求方程四、布置作业ydx(xy3)dy0(y0)的通解.有的方程形式上不是一阶线性方程，但通过变量置换，可化为线性方程.下面介绍的贝努利方程就属于这类方程.§3可降阶的高阶微分方程例2求微分方程xyylny的一、教学目标会用降阶法求解几种特殊类型的高阶通解.微分方程y(n)f(x)，yf(x,y)，yf(y,y)。二、教学内容二阶及

4、二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程.1、y(n)f(x)型微分方程3、yf(y,y)型微分方程例1求微分方程ysinxcosx的通解.2、yf(x,y)型微分方程例3求微分方程1(y)22yy的通解.例4求微分方程y(y)20的§4二阶线性微分方程通解.解的结构一、教学目标1、知道二阶线性齐次微分方程的解的结构；2、知道二阶线性非齐次微分方程的解的结构。二、教学内容1、二阶线性齐次微分方程的解的结构（1）定理1如果y(x),y(x)是二阶线性齐次方程12的两个解，则ycy(x)cy(x)也是该1122方程的解，其中c,c是任意常数.

5、12三、布置作业（2）定理2如果函数y(x),y(x)是二阶线性齐次12方程的两个线性无关的特解，则ycy(x)cy(x)是该方程的通解，其1122中c,c是任意常数.122、二阶线性非齐次微分方程三、布置作业的解的结构（1）定理3如果yy(x)是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，Ycy(x)cy(x)1122是方程所对应的齐次方程的通解，则yYycy(x)cy(x)y(x)1122是方程的通解.（2）定理4如果y(x)是二阶线性非齐次方程1yp(x)yQ(x)yf(x)的特解，而1y(x)是二阶线性非齐次方程2yp(x)yQ(

6、x)yf(x)的特2解，则yy(x)y(x)是方程12yp(x)yQ(x)yf(x)f(x).12§5二阶线性常系数齐次微分方程两个相等y(ccx)erx一、教学目标实根12使学生掌握二阶线性常系数齐次微分rrr方程的解法。12二、教学重点二阶线性常系数齐次微分方程的解法。两个共轭yex(ccosxcsinx)三、教学内容复根12ri1、定义：1,2若二阶线性齐次微分方程yp(x)yQ(x)y0中的p(x),Q(x)均为常数，即方程例1求微分方程y3y4y0的ypyqy0，通解.其中p,q为常数，

7、则称方程为二阶线性常系数齐次微分方程.2、解法：下面讨论二阶线性常系数齐次微分方程的解法.求二阶线性常系数齐次微分方程的通解步骤如下：（1）写出相应的特征方程r2prq0；（2）求出特征方程的两个特征根r及1例2求微分方程y10y25y0r；2的通解.（3）根据特征根的不同情况，写出微分方程的通解.特征方程ypyqy0的通的二根r1解及r2两个不等ycerxcerx12实根12rr12§6二阶线性常系数非齐次微分方程例3