常微分方程参考试卷及答案.doc

《常微分方程参考试卷及答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、常微分方程参考试卷及答案一、填空（30分）1、称为齐次方程，称为黎卡提方程。2、如果在上连续且关于满足利普希兹条件，则方程存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，其中，。3、若1，2，……，是齐线性方程的个解，为其伏朗斯基行列式，则满足一阶线性方程。4、对逼卡逼近序列，。5、若和都是的基解矩阵，则和具有关系。6、方程有只含的积分因子的充要条件是。有只含的积分因子的充要条件是。7、方程经过点的解在存在区间是。二、计算（60分）1、求解方程。解：所给微分方程可写成即有上式两边同除以，得由此可得方程的通

2、解为即1、求解方程解：所给方程是关于可解的，两边对求导，有（1）当时，由所给微分方程得；（2）当时，得。因此，所给微分方程的通解为，（为参数）而是奇解。2、求解方程解：特征方程，，故有基本解组，，对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，将其代入，得，解之得，对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，将其代入，得，所以原方程的通解为3、试求方程组的一个基解矩阵，并计算，其中解：，，，均为单根，设对应的特征向量为，则由，得,取，同理可得对应的特征向量为，则，，均为方程组的解，令，又，所以即为所求基解矩阵。1

3、、求解方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。解：令，得，即奇点为（2，-3）令，代入原方程组得，因为，又由，解得，为两个相异的实根，所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。2、求方程经过（0，0）的第二次近似解。解：，，。二、证明（10分）假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组有一解形如其中，是常数向量。证：设方程有形如的解，则是可以确定出来的。事实上，将代入方程得，因为，所以，（1）又不是矩阵的特征值，所以存在，于是由（1）得存在。故方程有一解