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1、单元质量评估四(第四章)时间:120分钟 分值:150分一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),a∥b,则x等于( )A.9 B.1C.-9D.-1解析:设a=λb,则,解得x=-9.故选C.答案:C2.若非零不共线向量a、b满足
2、a-b
3、=
4、b
5、,则下列结论正确的个数是( )①向量a、b的夹角恒为锐角;②2
6、b
7、2>a·b;③
8、2b
9、>
10、a-2b
11、;④
12、2a
13、<
14、2a-b
15、.A.1B.2C.3D.4解析:因为非零向量a、b满足
16、a-b
17、=
18、b
19、,所以由向量a、b、a-b组成的三角形是等腰三角形,且向量a是
20、底边,所以向量a、b的夹角恒为锐角,①正确;②:2
21、b
22、2>a·b=
23、a
24、·
25、b
26、cos〈a,b〉⇒2
27、b
28、>
29、a
30、cos〈a,b〉,而
31、b
32、+
33、a-b
34、=2
35、b
36、>
37、a
38、>
39、a
40、cos〈a,b〉,所以②正确;③:
41、2b
42、>
43、a-2b
44、⇒4
45、b
46、2>
47、a-2b
48、2=
49、a
50、2-4
51、a
52、·
53、b
54、cos〈a,b〉+4
55、b
56、2⇒4
57、a
58、·
59、b
60、cos〈a,b〉>
61、a
62、2⇒4·
63、b
64、cos〈a,b〉>
65、a
66、,而2
67、b
68、cos〈a,b〉=
69、a
70、,所以4
71、b
72、cos〈a,b〉>
73、a
74、,③正确;④:
75、2a
76、<
77、2a-b
78、⇒4
79、a
80、cos〈a,b〉<
81、b
82、,而4
83、a
84、cos〈a,b〉<
85、b
86、不
87、一定成立,所以④不正确.故选C.答案:C3.已知向量a、b的夹角为60°,
88、a
89、=3,
90、b
91、=2,若(3a+5b)⊥(ma-b),则m的值是( )A.B.C.D.解析:∵(3a+5b)⊥(ma-b)∴(3a+5b)·(ma-b)=0,即3ma2-5b2+(5m-3)a·b=0,∴27m-20+(5m-3)×3×2cos60°=0,解得m=.答案:C4.(2011·广东六校联考)如右图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法错误的是( )A.=+B.=-C.=+D.=+解析:排除法.如题图,=+,故A正
92、确.而=-,故B正确.==(+)=+,故C正确,所以选D.答案:D5.(2010·绵阳二诊)在直角三角形ABC中,AB=4,AC=2,M是斜边BC的中点,则向量在向量方向上的投影是( )A.1B.-1C.D.-解析:依题意得·=(+)·(-)=(2-2)=-6,
93、
94、==2,向量在向量方向上的投影等于==-.选D.答案:D6.(2010·广州测试)已知向量a=(sinx,cosx),向量b=(1,),则
95、a+b
96、的最大值为( )A.1B.C.3D.9解析:
97、a+b
98、==≤=3.答案:C7.(2010·福建质检)i为虚数单位,若=,则a的值为( )A.iB.-iC.-2iD
99、.2i解析:由=得a=(1-i)==-2i.答案:C8.(2011·皖南八校联考)若z=(x,y∈R,i为虚数单位)是实数,则实数xy的值为( )A.3B.-3C.0D.解析:∵z===为实数,∴=0,∴xy=3,故选A.答案:A9.(2011·惠州调研)在复平面内,复数z=cos3+isin3(i是虚数单位)对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为<3<π,所以cos3<0,sin3>0,故点(cos3,sin3)在第二象限,即复数z=cos3+isin3对应的点位于第二象限.答案:B10.(2010·安徽联考)已知点P为△ABC所在
100、平面上的一点,且=+t,其中t为实数.若点P落在△ABC的内部,则t的取值范围是( )A.0101、称d(a,b)=102、a-b103、为两个向量a、b间的“距离”,若向量a、b满足:①104、b105、=1;②a≠b;③对任意的t∈R,恒有d(a,tb)≥d(a,b),则( )A.a⊥bB.a⊥(a-b)C.b⊥(a-b)D.(a+b)⊥(a-b)解析:依题意得106、a-tb107、≥108、a-b109、,即(a-tb)2≥(a-b)2,亦即t2-2ta·b+(2a·b-1)≥0对任意的t∈R都成立,因此有Δ=(2a·b)2-4(2a·b-1)≤0,即(a·b-1)2≤0,故a·b-1=0,即a·b-b2=b·(a-b)=0,故b⊥(a-
101、称d(a,b)=
102、a-b
103、为两个向量a、b间的“距离”,若向量a、b满足:①
104、b
105、=1;②a≠b;③对任意的t∈R,恒有d(a,tb)≥d(a,b),则( )A.a⊥bB.a⊥(a-b)C.b⊥(a-b)D.(a+b)⊥(a-b)解析:依题意得
106、a-tb
107、≥
108、a-b
109、,即(a-tb)2≥(a-b)2,亦即t2-2ta·b+(2a·b-1)≥0对任意的t∈R都成立,因此有Δ=(2a·b)2-4(2a·b-1)≤0,即(a·b-1)2≤0,故a·b-1=0,即a·b-b2=b·(a-b)=0,故b⊥(a-
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