高三数学教案：导数的背景.pdf

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1、导数的背景（5月4日）教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点极限思想教学过程一、导入新课1.瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？12析：大家知道，自由落体的运动公式是sgt（其中g是重力加速度）.2当时间增量t很小时，从3秒到（3＋t）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到（3＋t）秒这段时间内位移的增量：222ss(3t)s(3)4.9(3t)4.9329.4t4.9(t)s从而，v29.44.9

2、t.ts从上式可以看出，t越小，越接近29.4米/秒；当t无限趋近于0时，tss无限趋近于29.4米/秒.此时我们说，当t趋向于0时，的极限是29.4.tts当t趋向于0时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做t瞬时速度.一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋t）这段时间ss(tt)s(t)s内的平均速度为.如果t无限趋近于0时，无限趋近于ttts某个常数a，就说当t趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻tt的瞬时速度.2.切线的斜率2问题2：P（1,1）是曲线yx上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P

3、趋近时割线PQ的斜率的变化情况.第1页共4页2析：设点Q的横坐标为1＋x，则点Q的纵坐标为（1＋x），点Q对于点P22的纵坐标的增量（即函数的增量）y(1x)12x(x)，2y2x(x)所以，割线PQ的斜率kPQ2x.xx由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，x变得越来越小，kPQ越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于2.这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.由点斜式，这条切线的方程为：y2x1.一般地，已知函数yf(x)的图象是曲线C，P（x0,y0），Q（x0x,y0y

4、）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P，即x趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜率ykPQ无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当x趋向于0时，割线PQxy的斜率kPQ的极限为k.x3.边际成本2问题3：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为C(q)3q10，我们来研究当q＝50时，产量变化q对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：222CC(50q)C(50)3(50q)10(35010)300q3(q).CC产量变化q对

5、成本的影响可用：3003q来刻划，q越小，越接近qqC300；当q无限趋近于0时，无限趋近于300，我们就说当q趋向于0时，qC的极限是300.qC2我们把的极限300叫做当q＝50时C(q)3q10的边际成本.q第2页共4页一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），CC(q0q)C(q0)当产量为q0时，产量变化q对成本的影响可用增量比qqC刻划.如果q无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际q成本.它表明当产量为q0时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.二、小结s瞬时速度是平均速度当t趋近于0时

6、的极限；切线是割线的极限位置，tyC切线的斜率是割线斜率当x趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当xqq趋近于0时的极限.三、练习与作业：21.某物体的运动方程为s(t)5t（位移单位：m，时间单位：s）求它在t＝2s时的速度.22.判断曲线y2x在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.23.已知成本C与产量q的函数关系式为C2q5，求当产量q＝80时的边际成本.4.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单2位：s）之间的函数关系为ht，求t＝4s时此球在垂直方向的瞬时速度.第3页共4页1215.判断曲线yx在（1，）

7、处是否有切线，如果有，求出切线的方程.2226.已知成本C与产量q的函数关系为C4q7，求当产量q＝30时的边际成本.第4页共4页