高三数学教案：几种常见函数的导数2.pdf

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1、课题：3．2几种常见函数的导数教学目的：1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题教学重点：用定义推导常见函数的导数公式．nn1教学难点：公式(x)'nx(nQ)的推导．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.导数的定义：设函数yf(x)在xx0处附近有定义，当自变量在xx0处有增量x时，则函数yf(x)相应地有增量yf(x0x)f(x0)，如yy果x0时，y与x的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限xx趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数yf(x)在xx0处

2、的导数，记//f(x0x)f(x0)作yxx0，即f(x0)limx0x2.导数的几何意义：是曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切/线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3.导函数(导数):如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，/此时对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个//新的函数f(x),称这个函数f(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简第1页共7页///yf(xx)f(x)称导数，也可记作y，即f(x)＝y＝limlimx0xx

3、0x/函数yf(x)在x0处的导数yxx就是函数yf(x)在开区间(a,b)0///(x(a,b))上导数f(x)在x0处的函数值，即yxx0＝f(x0)所以函数/yf(x)在x0处的导数也记作f(x0)导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系是函数/yf(x)在点x0处的导数就是导函数f(x)在点x0的函数值4.可导:如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数yf(x)在开区间(a,b)内可导5.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连

4、续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6.求函数yf(x)的导数的一般方法：（1）求函数的改变量yf(xx)f(x)yf(xx)f(x)（2）求平均变化率xx/y（3）取极限，得导数y＝f(x)limx0x二、讲解新课：1.C'0(C为常数)说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数yC的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0.证明：yf(x)=C，∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=C－C=0yy∴=0，y=C′=lim=0，∴y=0.xx0x第2页共7页nn12.(x)'nx(nQ)说明：实际上

5、，此公式对nR都成立，但证明较复杂，所以课本只给出*了nN的证明n证明：yf(x)=xnn∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=(xx)xn1n12n22nnn=x+CnxΔx+Cnx(Δx)+⋯+Cn(x)－x1n12n22nn=CnxΔx+Cnx(Δx)+⋯+Cn·(x)y1n12n2nn1=Cnx+CnxΔx+⋯+Cn·(x)xny∴y=(x)=limx0x1n12n2nn11n1n1=lim（Cnx+CnxΔx+⋯+Cn·(x))=Cnx=nxx0nn1∴y=(x)'nx3.(sinx)'cosx证明方法一：y=sinx，Δy=sin(x+Δx)－sinx=sinxcosΔx+co

6、sxsinΔx－sinxysinxcosxcosxsinxsinxxxysinxcosxcosxsinxsinx∴y=limlimx0xx0xsinx(cosx1)cosxsinxlimx0x2xsinx(2sin)2sinxlimlimcosxx0xx0x第3页共7页2xsin2xlim(2sinx)cosxx0x24()2=－2sinx·1·0+cosx=cosx∴y=cosx证明方法二：ysinx，(xx)x(xx)xysin(xx)sinx2cossin22xx2cosxsin，22xsinyx2cosx，x2x2xsinyx2∴y'(sinx)'limlimcosxx0xx0

7、2x2xsinx2limcosxlimcosx．x02x0x24.(cosx)'sinx证明方法一：y=cosx，Δy=cos(x+Δx)－cosx=cosxcosΔx－sinxsinΔx－cosxycosxcosxsinxsinxcosxy=limlimx0xx0xcosx(cosx1)sinxsinxlimx0x2xcosx(2sin)2sinxlimlimsinxx0xx0x第4页共7页2xsin2xlim(2cosx)sinx12cos