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1、导数的概念(5月4日)教学目标与要求:理解导数的概念并会运用概念求导数。教学重点:导数的概念以及求导数教学难点:导数的概念教学过程:一、导入新课:上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同,但从函数角度来看,却是相同的,都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、新授课:1.设函数yf(x)在xx0处附近有定义,当自变量在xx0处有增量x时,则函数Yf(x)相应地有增量yf(x0x)f(x0),如果x0时,y与x的比y(也x叫函数的平均变化率)有极限即y无限趋近
2、于某个常数,我们把这个极限值叫做函数xyf(x)在xx0处的导数,记作y/xx0,即f/(x0)limf(x0x)f(x0)x0x注:1.函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在。2.在定义导数的极限式中,x趋近于0可正、可负、但不为0,而y可能为0。3.y是函数yf(x)对自变量x在x范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲线xyf(x)上点(x0,f(x0))及点(x0x,f(x0x))的割线斜率。4.导数f/(x0)limf(x0x)f(x0)是函数yf(x)在点x0的处瞬时变化率,x0x它反映的函数yf(x)在
3、点x0处变化的快慢程度,它的几何意义是曲线yf(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率。因此,如果yf(x)在点x0可导,则曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为yf(x0)f/(x0)(xx0)。5.导数是一个局部概念,它只与函数yf(x)在x0及其附近的函数值有关,与x无关。6.在定义式中,设xx0x,则xxx0,当x趋近于0时,x趋近于x0,因第1页共4页此,导数的定义式可写成f/(x0)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)。xoxxx0xx07.若极限limf(x0x)f(x0
4、)不存在,则称函数yf(x)在点x0处不可导。x0x8.若f(x)在x0可导,则曲线yf(x)在点(x0,f(x0))有切线存在。反之不然,若曲线yf(x)在点(x0,f(x0))有切线,函数yf(x)在x0不一定可导,并且,若函数yf(x)在x0不可导,曲线在点(x0,f(x0))也可能有切线。一般地,lim(abx)a,其中a,b为常数。x0特别地,limaa。x0如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数,此时对于每一个x(a,b),都对应着一个确定的导数f/(x),从而构成了一个新的函数f/(x)。
5、称这个函数f/(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数,简称导数,也可记作y/,即f/(x)=y/=limylimf(xx)f(x)x0xx0x函数yf(x)在x0处的导数y/xx就是函数yf(x)在开区间(a,b)(x(a,b))上导0数f/()x0处的函数值,即/xx0=f/(x0)。所以函数yf(x)在x0处的导数也记x在y作f/(x0)。注:1.如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数,则称函数yf(x)在开区间(a,b)内可导。2.导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函
6、数;求一个函数在给定点的导数,就是求导函数值。它们之间的关系是函数yf(x)在点x0处的导数就是导函数f/(x)在点x0的函数值。3.求导函数时,只需将求导数式中的x0换成x就可,即f/(x)=lim0f(xx)f(x)xx4.由导数的定义可知,求函数yf(x)的导数的一般方法是:(1).求函数的改变量yf(xx)f(x)。第2页共4页(2).求平均变化率yf(xx)f(x)。xx(3).取极限,得导数y/=limy。x0x例1.求y2x21在x=-3处的导数。例2.已知函数yx2x(1)求y/。(2)求函数yx2x在
7、x=2处的导数。小结:理解导数的概念并会运用概念求导数。练习与作业:1.求下列函数的导数:(1)y3x4;(2)y12x(3)y3x212x(3)y5x32.求函数yx21在-1,0,1处导数。第3页共4页3.求下列函数在指定点处的导数:(1)yx2,x02;(3)y(x2)2,x014.求下列函数的导数:(1)y4x1;(3)y233;xx5.求函数yx22x在-2,0,2处的导数。(2)y1x2,x00;3(4)yx2x,x01.(2)y10x2;(4)y2x27。第4页共4页