高三数学导数的概念

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1、数学第三册（选修I）第二章《导数》导数的背景早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，牛顿是从运动学角度，莱布尼兹是从几何学角度来研究微积分的。可以说，微积分靠解析几何的帮助，成为十七世纪发现的最伟大的数学工具，以后，微积分得到了广泛的应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题。这一问题还与历法、农业密切相关。来自

2、于生产生活实际和科学研究的许多问题，常常遇到一些求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题。这些问题都可以归结为求函数的最大值与最小值。学习导数与微分是解决上述问题的有力工具。问题：超市货品架上的罐装饮料（圆柱形），当圆柱形罐的容积V一定时，如何选取圆柱的底半径，能使所用材料最省？一.瞬时速度已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝s(t)(ｓ表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度．如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在时刻t0+Δt的位置是s(t0+Δt)=OA1,则从t0到t0+Δt这段

3、时间内,物体的位移是:在时间段(t0+Dt)－t0=Dt内，物体的平均速度为:问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？平均速度反映了物体运动时的快慢程度程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+Δt这段时间内，当Δt0时平均速度:例1:物体作自由落体运动,运动方程为：其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：(1)物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；

4、(2)物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；(3)物体在t=2(s)时的瞬时速度.解:(1)将Δt=0.1代入上式，得:(2)将Δt=0.01代入上式，得:即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).当时间间隔Δt逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s)时的瞬时速度v=20(m/s).练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求:(1)2≤t≤2+Δt这段时间内的平均速度,这里Δt取值范围为1;(2)t=2时刻的瞬时速度.一、物理意义——瞬时速度当越来越小的时候，越来越接近某时刻的瞬时速度在物理

5、学中，我们学过平均速度二.边际成本问题二：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为，我们来研究当q＝50时，产量变化对成本的影响在本问题中，成本的增量为：产量变化对成本的影响可用：来刻划，越小，越接近300；当无限趋近于0时，无限趋近于300，我们就说当趋向于0时，的极限是300.我们把的极限300叫做当q＝50时的边际成本.一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比刻划.如果无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.它表明当产量为q

6、0时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.二、实际应用——边际成本我们研究函数增量与自变量的关系：如果无限趋于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本，它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A引入问题:曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线方程是什么?P(1,2)y=x2+1xy-111O法一:判别式法引入问题:曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线方程是什么?法二:函数极限法QPy=x2+1xy-111OjMDyDx3.曲线的切线βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔx

7、ΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:①提供了求曲线上某点切

8、线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.例1: