高一数学教案：实数与向量的积(1).docx

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1、课题：实数与向量的积（1）教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；3.零向量、单位向量概

2、念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则8．向量加法的交换律：a+b=b+a9．向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)10．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即

3、：ab=a+(b)11．差向量的意义：OA=a,OB=b,则BA=ab即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量二、讲解新课：1．示例：已知非零向量a，作出a+a+a和(a)+(a)+(a)OC=OAABBC=a+a+a=3aPN=PQQMMN=(a)+(a)+(a)=3a（1）3a与a方向相同且

4、3a

5、=3

6、a

7、；（2）3a与a方向相反且

8、3a

9、=3

10、a

11、2．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa（1）

12、λa

13、=

14、λ

15、

16、a

17、第1页共7页（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相

18、反；λ=0时λa=03．运算定律aa①结合律：λ(μ)=(λμ)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa②第二分配律：λ(a+b)=λa+λb③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立如果λ0，μ0，a0aaλ

19、

20、μ

21、

22、a

23、有：

24、λ(μ)

25、=

26、λ

27、

28、μ

29、=

30、aλμ

31、

32、a

33、=

34、λ

35、

36、μ

37、

38、a

39、

40、(λμ)

41、=

42、∴

43、λaa(μ)

44、=

45、(λμ)

46、如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向aa从而λ(μ)=(λμ)第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至

47、少有一个成立，则②式显然成立如果λ0，μ0，a0当λ、μ同号时，则λa和μa同向，aa

48、=(

49、λ

50、+

51、μ

52、)

53、a

54、∴

55、(λ+μ)

56、=

57、λ+μ

58、

59、

60、λa+μa

61、=

62、λa

63、+

64、μa

65、=

66、λ

67、

68、a

69、+

70、μ

71、

72、a

73、=(

74、λ

75、+

76、μ

77、)

78、a

79、∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与a同向即aλaa

80、(λ+μ)

81、=

82、+μ

83、当λ、μ异号，当λ>μ时②两边向量的方向都与λa同向；当λ<μ时②两边向量的方向aaaa都与μ同向，且

84、(λ+μ)

85、=

86、λ+μ

87、∴②式成立第二分配律证明：第2页共7页如果a=0，b=0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则

88、③式显然成立当a0，b0且λ0，λ1时（1）当λ>0且λ1时在平面内任取一点O，作OAaABbOA1λaA1B1λb则OBa+bOB1λa+λb由作法知，AB∥A1B1有OAB=OA1B1

89、AB

90、=λ

91、A1B1

92、

93、OA1

94、

95、A1B1

96、∴

97、OA

98、

99、AB

100、λ∴△OAB∽△OA1B1

101、OB1

102、∴

103、OB

104、λAOB=A1OB1因此，O，B，B1在同一直线上，

105、OB1

106、=

107、λOB

108、OB1与λOB方向也相同∴λ(a+b)=λa+λb当λ<0时可类似证明：λ(a+b)=λa+λb∴③式成立4．向量共线的充要条件若有向量a(a0)、b，

109、实数λ，使b=λa，则a与b为共线向量若a与b共线(a0)且

110、b

111、：

112、a

113、=μ，则当a与b同向时b=μa；当a与b反向时ba从而得=μ向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa三、讲解范例：例1若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.分析：此题可把已知条件看作向量ｍ、ｎ的方程，通过方程组的求解获得ｍ、ｎ.解：记3ｍ＋2ｎ＝ａ①ｍ－３ｎ＝ｂ②3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③13①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ.∴ｎ＝11ａ－11ｂ④第3页共7页32将④代入②有：ｍ＝ｂ＋３

114、ｎ＝11ａ＋11ｂ评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.1例2凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证EF＝2(AB+DC).解法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点C在平面内作