实数与向量的积.docx

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1、第五教时教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。二、1．引入新课：已知非零向量a作出a+a+a和(a)+(a)+(a)aaaaaOABCaaaNMQPOC=OAABBC=a+a+a=3aPN=PQQMMN=(a)+(a)+(a)=3a讨论：13a与a方向相同且

2、3a

3、=3

4、a

5、23a与a方向相反且

6、3a

7、=3

8、a

9、2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a的积，记作：λa定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa1

10、

11、λa

12、=

13、λ

14、

15、a

16、2λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=03．运算定律：结合律：λ(μ)=(λμ)①aa第一分配律：(λ+μ)aλa+μa②=第二分配律：λ(a+b)=λa+λb③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立如果λ0，μ0，a0有：

17、λ(μ)

18、=

19、λ

20、

21、μa

22、=

23、λ

24、

25、μ

26、

27、a

28、a

29、(λμ)a

30、=

31、λμ

32、

33、a

34、=

35、λ

36、

37、μ

38、

39、a

40、如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。从而λ(μa)=(λμ)a第一分

41、配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立如果λ0，μ0，a0当λ、μ同号时，则λa和μa同向，∴

42、(λ+μ)a

43、=

44、λ+μ

45、

46、a

47、=(

48、λ

49、+

50、μ

51、)

52、a

53、

54、λa+μa

55、=

56、λa

57、+

58、μa

59、=

60、λ

61、

62、a

63、+

64、μ

65、

66、a

67、=(

68、λ

69、+

70、μ

71、)

72、a

73、∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与a同向即：

74、(λ+μ)aλa+μa

75、

76、=

77、当λ、μ异号，当λ>μ时②两边向量的方向都与λa同向当λ<μ时②两边向量的方向都与μa同向还可证：

78、(λ+μ)aλa+μa

79、

80、=

81、∴②式成立第二分配律证明：如果a=0，b=0中至少有一个

82、成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a0，b0且λ，λ1时0B11当λ>0且λ1时在平面内任取一点O，B作OAaABbOA1λaA1B1λb则OBa+bOB1λOAA1λba+由作法知：AB∥A1B1有OAB=OA1B1

83、AB

84、=λ

85、A1B1

86、∴

87、OA1

88、

89、A1B1

90、λ∴△OAB∽△OA11

91、OA

92、

93、AB

94、B∴

95、λ(μa)

96、=

97、(λμ)a

98、

99、OB1

100、λAOB=A11∴OB

101、OB

102、因此，O，B，B1在同一直线上，

103、OB1

104、=

105、λOB

106、OB1与λOB方向也相同λ(a+b)=λa+λbBA1当λ<0时可类似证明：λ(a+b)=

107、λa+λbOA∴③式成立B14．例一（见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1．若有向量a(a0)、b，实数λ，使b=λa则由实数与向量积的定义知：a与b为共线向量若a与b共线(a0)且

108、b

109、：

110、a

111、=μ，则当a与b同向时b=μa当a与b反向时b=μa从而得：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b=λa2．例二（P104-105略）三、小结：四、作业：课本P105练习P107-108习题5.31、2