行列式按行列展开xg课件.ppt

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1、行列式D与它的转置行列式DT相等某一行(列)的公因子可提到行列式符号的外面互换行列式的两行(列)行列式变号行列式有两行(列)完全相同则此行列式等于零数k乘行列式等于k乘此行列式的某一行(列)行列式中有两行(列)元素成比例则行列式等于零.若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和则行列式等于两个行列式之和把行列式的某一行(列)的倍数，加到另一行(列)对应的元素上去行列式不变复习回顾行列式性质一变二零五可（可转、可提（2条）、可拆、可倍加）性质5若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和则行列式等于两个行列式之和即性质5引申若行列式的某一行(列)的元素都是n个数之和

2、则行列式等于n个行列式之和计算行列式常用方法：利用运算rikrj(或者cikcj)把行列式等价地转化为三角形行列式，从而得行列式的值．行列式的计算化三角形法方法分析将行列式化为三角形是计算行列式的基本方法，我们感到低阶行列式更容易计算，并且当阶数较高时，运算过程中每次写那么多0也很麻烦．自然地有想法，能否将高阶行列式降阶？？也就是说，用低阶的行列式去表示高阶行列式．三阶行列式的结构再思考余子式§1.3行列式按行(列)展开一、余子式与代数余子式二、行列式按行(列)展开法则叫做元素aij的代数余子式．例如一、余子式与代数余子式(1)ijAijMij在n阶行列式Ddet(aij)中

3、把元素aij所在的第i行和第j列划去后剩下来的n1阶行列式,叫做元素aij的余子式记作Mij．注1:行列式的每个元素分别对应着一个余子式与一个代数余子式.注2:行列式的某个元素的余子式与代数余子式,只与该元素的位置有关,与该元素的大小无关.三阶行列式的结构再思考定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与它对应的代数余子式乘积之和，即展开定理说明：n阶行列式可表示为n个特殊的n-1阶行列式的代数和的形式；反过来，这种代数和的形式也可理解为一个n阶行列式。二、行列式按行（列）展开法则或定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与它对应的代数余子式乘积之和，即推论行列式任一行（列）的元素与另一行

4、（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即或二、行列式按行（列）展开法则定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与它对应的代数余子式乘积之和，即推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即或二、行列式按行（列）展开法则关于代数余子式的重要性质214311331321132101672012312110010801231211021111053121514320111533例2.1计算解31215143201115333521c1c2r2r1r45r1008166402117208

5、64r2r300108001510r34r2r48r2005/2040方法：化三角形行列式解D3121514320111533例3.1计算注:利用行列式的性质，采用“化零”的方法，将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低一阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．例3.2计算行列式解=分析例3.3证明范德蒙德(Vandermonde)行列式一共有多少乘积项?所有后项减前项的乘积。证用数学归纳法例3.3证明范德蒙德(Vandermonde

6、)行列式从第n行开始，依次用后一行减去前一行的x1倍，于是得n-1阶范德蒙德行列式例3.3证明范德蒙德(Vandermonde)行列式练习求解方程1241391xx2=0一共有个乘积项，所有后项减前项的乘积。解c2c1r4r3r3r1按第三列展开按第三行展开4例3.4依次记作Mij和Aij求A11A12A13A14及3M13－M23－M33－2M43