《复变函数》第4章.ppt

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1、复变函数（第四版）第四章级数§1复数项级数§2幂级数§3泰勒级数§4洛朗级数7/31/20211《复变函数》(第四版)第4章§1复数项级数1.复数列的极限复级数也是研究解析函数的一个重要工具.函数的解析性等价于函数能否展成幂级数.复数列7/31/20212《复变函数》(第四版)第4章Th1.证明利用不等式:7/31/20213《复变函数》(第四版)第4章2.级数概念(1)定义级数:前n项和:(部分和)否则.发散7/31/20214《复变函数》(第四版)第4章Th2.必要条件:运算性质:且:(C为复常数)（作用：复

2、数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题）7/31/20215《复变函数》(第四版)第4章(2)绝对收敛与条件收敛.结论:i)ii)Th3模7/31/20216《复变函数》(第四版)第4章iii)iv)7/31/20217《复变函数》(第四版)第4章例1.解:1)下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.1)2)而7/31/20218《复变函数》(第四版)第4章解:2)例2.解:1)下列级数是否收敛?是否绝对收敛?7/31/20219《复变函数》(第四版)第4章解:2)(不易分实部,虚部)对正项级数∴原级数收敛

3、,且为绝对收敛.7/31/202110《复变函数》(第四版)第4章解:3)因为(莱布尼兹型交错级数)∴原级数收敛.条件收敛,∴原级数不绝对收敛.7/31/202111《复变函数》(第四版)第4章补例:考察解:1)下列级数的敛散性:∴原级数发散.而7/31/202112《复变函数》(第四版)第4章解:2)收敛.(公比

4、q

5、<1)∴原级数绝对收敛.7/31/202113《复变函数》(第四版)第4章解:3)收敛.∴原级数绝对收敛.而7/31/202114《复变函数》(第四版)第4章补例:判别解:1)级数的敛散性.发散.

6、故级数不绝对收敛.7/31/202115《复变函数》(第四版)第4章续上页解:1)解:2)均收敛∴原级数发散.(莱布尼兹型交错级数)7/31/202116《复变函数》(第四版)第4章§2幂级数1.复变函数项级数部分和z在D内处处收敛;和函数和即7/31/202117《复变函数》(第四版)第4章例:解:当z=1时,级数收敛于0,当z=－1时,级数发散;当

7、z

8、>1时,显然发散.7/31/202118《复变函数》(第四版)第4章2.幂级数及其收敛圆一般式:取α=0.7/31/202119《复变函数》(第四版)第4章(

9、有与实函类似的结论)(1)(2)——阿贝尔定理z0xyO7/31/202120《复变函数》(第四版)第4章[证]7/31/202121《复变函数》(第四版)第4章7/31/202122《复变函数》(第四版)第4章7/31/202123《复变函数》(第四版)第4章利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:i)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.

10、iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.7/31/202124《复变函数》(第四版)第4章显然a

11、变函数》(第四版)第4章例:收敛半径均是1.1)其一般项zn→0,无收敛点.2)在点z=1发散,在其它点都收敛.在收敛圆周

12、z

13、=1上7/31/202128《复变函数》(第四版)第4章3.收敛半径的求法(1)比值法:(2)根值法:例2:(P113)求下列幂级数的收敛半径7/31/202129《复变函数》(第四版)第4章解:1)在收敛圆周

14、z

15、=1上,∴R=1(p=3时的p∴原级数在收敛圆周上是处处收敛的.—级数)7/31/202130《复变函数》(第四版)第4章解:2)在收敛圆周

16、z－1

17、=1上,解:3)7/31

18、/202131《复变函数》(第四版)第4章{an}有界上极限下极限上确界{βk}单调减少,必有极限下确界{αk}单调上升,必有极限数列去掉前k项以后的有界数列的下确界.7/31/202132《复变函数》(第四版)第4章另有一求收敛半径的方法:柯西—哈达玛法例:解:(Cauchy-Hadanmard)7/31/202133《复变函数》(第四版)第4章补例:证:1)2)1)幂