复变函数第1章.ppt

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1、复变函数（第四版）电子教案中山大学公共卫生学院刘素芳邓卓燊编写第一章复数与复变函数§1复数及其代数运算1.复数的概念复变函数——自变量为复数的函数.复变函数研究的中心对象:解析函数．复变函数论又称为解析函数论．i—虚数单位i2=－1复数：z=x+iy(或z=x+yi),x,y为实数实部：x=Re(z)虚部：y=Im(z)纯虚数：z=iy(y≠0)7/21/20212《复变函数》(第四版)2.复数的代数运算(1)加(减)法:(2)乘法:按多项式法则相乘z=0x=y=0z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,z1=z2x1=x2,y1=y2注意：任意两个复

2、数不能比较大小.z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,共轭复数：z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1·z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2－y1y2)+i(x2y1+x1y2)7/21/20213《复变函数》(第四版)(3)除法:复数的运算满足交换律、结合律和分配律.(4)共轭复数性质i)ii)iii)iv)7/21/20214《复变函数》(第四版)证例1解:P.4设z1=5－5i,z2=－3+4i,求与7/21/20215《复变函数》(第四版)例2解:设求Re(z),Im(z)与7/21/20216《复变函数》(第四版)§2复

3、数的几何意义1.复平面,复数的其它表示法复数的加减法可用向量的三角形法则和平行四边形法则.(1)z=x+iy点(x,y)↔(几何表示法)直角坐标平面xoy复平面.x—实轴y—虚轴(2)z=x+iy↔(向量表示法)模由此:or7/21/20217《复变函数》(第四版)结论:辐角:辐角主值:(两边之和大于第三边)(两边之差小于第三边)(z0)无穷多个,相差2kπ.k=0,±1,±2,……当z=0时,

4、z

5、=0,而辐角不确定.7/21/20218《复变函数》(第四版)Argz的主值argz(z0)可由Arctan的主值arctan来确定:例:其中z=－3+3

6、i(图示)7/21/20219《复变函数》(第四版)(3)三角表示法(4)指数表示法例由欧拉公式得求和的辐角主值.解:7/21/202110《复变函数》(第四版)例1解:1)将下列复数化为三角表示式与指数表示式:1)2)(或∵z在第三象限)∴三角式:指数式:书P.77/21/202111《复变函数》(第四版)解:2)例2.见书P.8…(自阅)续上页例1三角式:指数式:7/21/202112《复变函数》(第四版)平面图形与复数形式方程例3通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线的方程解法一:由过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线的参数方程

7、得复数形式的参数方程解法二:如图,z－z1与z2－z1共线即z2ozz17/21/202113《复变函数》(第四版)例4解:1)解:2)求下列方程所表示的曲线1)

8、z+i

9、=2;2)

10、z－2i

11、=

12、z+2

13、;3)几何上看

14、z+i

15、=

16、z－(－i)

17、=2:的距离为2的点轨迹,即中心为(－i),半径为2的圆.代数推导:设z=x+iy则

18、x+(y+1)i

19、=2x2+(y+1)2=4

20、z－2i

21、=

22、z+2

23、——到点2i和－2距离连结2i和－2的线段的垂直平分线.与点－i相等的点轨迹:

24、x+(y－2)i

25、=

26、(x+2)+yi

27、x2+(y－2)2=(x+2)2+y2

28、y=－x(见书P10图1.5)7/21/202114《复变函数》(第四版)解:3)问:续上页例41－y=4y=－3

29、z+3

30、+

31、z+1

32、=4中z的轨迹?到定点z=－3和z=－1的距离和为常数——椭圆.(左焦点)(右焦点)7/21/202115《复变函数》(第四版)2.复球面任取一与复平面切于原点的球面,原点称球面的南极,过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极.连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点,又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应,构成扩充复平面与球面点的一一对应,即复数与球面上的点的一一对应,球面称为复球面.7/21/2

33、02116《复变函数》(第四版)规定:注:1.在高等数学中,∞可以分为+∞和－∞.而在复变函数中只有唯一的无穷远点∞.(这样才能与复球面一一对应)2.引入唯一无穷远点∞在理论上有重要意义.∞可以作为复平面的唯一的边界点.在扩充的复平面上,直线可看成是一个圆.

34、∞

35、=+∞α≠∞,α+∞=∞+α=∞α－∞=∞－α=∞α·∞=∞·α=∞无特殊说明,平面仍指有限平面.7/21/202117《复变函数》(第四版)§3复数的乘幂与方根1.乘积与商(两端可能值相等,即集相等)7/21/202118《复变函数》(第四版)几何意义:特别:z1·z2:z1逆时针旋转一个角度a

36、rgz2,并伸长

37、z1

38、到

39、z2

40、倍.z2顺时针旋转一个角度arg