八年级数学同步培优竞赛详附答案：第七讲二次根式的运算.docx

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1、名师第七讲二次根式的运算式子a(a≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础．(1)acbc(ab)c(c≥0)；(2)abab(a0,b0)；(3)aaa0,b0)；b(b(4)(a)2a2(a0)．同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等．例题求

2、解【例1】已知yx22x222，则x2y2=．5x445x(重庆市竞赛题)思路点拨因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．注：二次根式有如下重要性质：(1)a0，说明了a与a、a2n一样都是非负数；(2)(a)2a(a0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；(3)(a)2a，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．【例2】化简11，所得的结果为（）1(n1)2n2

3、A．111B．111C．111D．111nn1nn1nn1nn1(武汉市选拔赛试题)思路点拔待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．注特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为第1页（共7页）普遍、更为深刻的事实和规律．【例3】计算：（1）64332；(63)(32)（2）10141521；10141521（3）1111；353357557494747349315102633218．5231思路点拨若一开始就把分母有理化，则使计算复

4、杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．【例4】(1)化简423423；(北京市竞赛题)(2)计算108322(“希望杯”邀请赛试题)(3)计算a2a1a2a1．(湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)思路点拨（1）把4+23万与4—23分别化成一个平方数化简，此外，由于4+23与4—23是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值

5、符号的综合问题．【例5】已知ab2a14b23c315，求abc的值．c2(山东省竞赛题)思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．学历训练1．如果y2x332x2，那么x2y=．(四川省竞赛题)2．已知xy3，那么xyyx的值为．(成都市中考题)xy第2页（共7页）3．计算(31)20012(31)20002(31)19992001=．(天津市选拔赛试题)4．若ab≠0，则等式a1ab飞成立的条件是．(淄博市中考题)b5b35．如果

6、式子(x1)2x2化简的结果为2x3，则x的取值范围是()A．x≤1B．x≥2C．1≤x≤2D．x>0(徐州市中考题)6．如果式子(1a)1根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）1aA．1aB．a1C．a1D．1a7．已知x2xyy0(x0,y0)，则3xxyy的值为()5x3xy4yA．1B．1C．2D．332341228．已知a，那么a1a2a1的值等于（）a223a1aA．(123)B．1C．23D．39．计算：(1)19992000200120021；（2）322526721292201123

7、0132421525617272；(北京市数学竞赛题)（3）115746；7776642（4）199719992001(19971999)(19972001)(19991997)(19992001)(20011997)(20011999)(“希望杯”邀请赛试题)10．(1)已知913与913的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值；(2)设xn1n，yn1n，n为自然数，如果2x21972y21993成立，n1nn1nxy求n．11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西

8、方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以第3页（共7页）40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响．（1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由；(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：21.4，31.7)(贵阳市中考题)12．已知x32，y32yx．(T1杯全国初中数学联赛题)3232，那么x2y2